По кругу расставлены 2015 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

На доске написано число 1000, его можно заменить на другое, либо прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций получить число 2015.

задан 11 Май '15 22:46

изменен 12 Май '15 7:48

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Предположим, что делимость на 3 не имеет место. Тогда каждое из чисел при делении на 3 даёт в остатке 1 или 2. Проверим, что числа с одинаковыми остатками не могут стоять рядом. Действительно, в этом случае их разность кратна 3, то есть они не будут отличаться ни в одну из сторон на 1 или 2. Если одно число равно $%x$%, а другое $%2x$%, то получается, что их разность кратна 3, то есть $%x$% делится на 3, что невозможно.

Таким образом, остатки 1 и 2 должны чередоваться, что ввиду нечётности их количества приводит к противоречию.

2) При тех операциях, которые здесь разрешены, у числа не меняется его остаток от деления на 11. Это следует как из соответствующего признака делимости, так и из того, что мы во всех случаях прибавляем или вычитаем число вида 110...0.

У числа 1000 остаток равен 10, так как 990 кратно 11. А у числа 2015 остаток от деления на 11 равен 2. Понятно, что одно в другое не превратить.

ссылка

отвечен 12 Май '15 1:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,026
×91

задан
11 Май '15 22:46

показан
536 раз

обновлен
12 Май '15 1:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru