Доказать, что любой элемент кольца $%\mathbb Z/143\,\mathbb Z$% является суммой двух делителей нуля. Найти представление в виде суммы двух делителей нуля для элемента $%17$%.

задан 12 Май '15 0:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку $%143=11\cdot13$%, делителями нуля будут в точности все ненулевые элементы вида $%\bar{k}$%, где $%1\le k\le142$% кратно либо 11 (это 12 случаев), либо 13 (это 10 случаев). Всего делителей нуля в этом кольце имеется 22.

Поскольку числа 11 и 13 взаимно просты, уравнение $%1=11x+13y$% имеет решения в целых числах. То же самое верно для любого целого $%d$%, если домножить уравнение на $%d$%.

Пусть $%0\le d\le142$%. Рассмотрим некоторые целые числа $%u$%, $%v$%, для которых $%d=11u+13v$%. В кольце вычетов имеет место равенство $%\bar{d}=\overline{11u}+\overline{13v}$%. Если $%u$% не кратно 13, а также $%v$% не кратно 11, то представление в виде суммы двух делителей нуля получено.

Предположим, что $%u$% кратно 13. Тогда $%d$% тоже кратно 13. Для такого числа можно рассмотреть разность двух чисел, кратных 13, ни одно из которых не делится на 11. А именно, если $%d=13m$%, то $%d=13(m+s)+(-13s)$%, и понятно, что $%s$% можно подобрать так, чтобы ни $%s$%, ни $%m+s$% на 11 не делилось. Переходя к классам вычетов, получаем требуемое представление.

Аналогично поступаем, если $%v$% кратно 11: здесь $%d$% кратно 11, и его представляем в виде разности чисел, кратных 11, ни одно из которых не делится на 13.

Для числа 17 рассмотрим такой пример: $%17=39+(-22)$%. Ясно, что $%\overline{39}$% и $%\overline{-22}$% -- это делители нуля в данном кольце.

ссылка

отвечен 12 Май '15 0:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,257
×555

задан
12 Май '15 0:12

показан
671 раз

обновлен
12 Май '15 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru