Найти все идеалы в кольце $%\mathbb F_2^{\,n}$% ($%n$%-ая прямая степень поля $%\mathbb F_2$%).

задан 12 Май '15 0:15

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим произвольный идеал $%I$% данного кольца. Для любого $%i$% от $%1$% до $%n$% имеет место одно из двух: либо координата с номером $%i$% у любого элемента идеала $%I$% нулевая, либо найдётся вектор $%x=(x_1,\ldots,x_n)\in I$% такой, что $%x_i=1$%. Обозначим через $%J\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$% множество всех координат, относящихся ко второму из случаев.

Обозначим через $%e_i$% вектор, у которого $%i$%-я координата равна 1, а все остальные координаты нулевые. Если $%i\in J$%, то имеет место равенство $%x_ie_i=e_i$%, откуда следует, что $%e_i\in I$%. Таким образом, $%I$% содержит все суммы векторов вида $%e_i$% при $%i\in J$%, и это говорит о том, что координаты из $%J$% можно задать как угодно, а все остальные координаты равны нулю, что однозначно характеризует идеал $%I$%.

Таким образом, идеалов в данном кольце столько же, сколько подмножеств в $%J\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$%, то есть $%2^n$%. Фактически, мы берём все прямые произведения, ставя в каждой компоненте либо нулевое подкольцо, либо $%\mathbb F_2$%. Это даёт полное описание структуры идеалов.

ссылка

отвечен 12 Май '15 1:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750
×334

задан
12 Май '15 0:15

показан
499 раз

обновлен
12 Май '15 1:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru