Пусть $%G$% - ограниченная область в $%\mathbb R^n$%. Рассмотрим оператор $%|\cdot|:W_p^1(G)\to W_p^1(G)$%, переводящий функцию в её абсолютное значение. Существует ли константа $%L>0$% такая, что $%\||u|-|v|\| \leq \|u-v\|\, \forall u,v \in W_p^1(G)$%?

Попытка решения Прежде всего найдём $%\frac{\partial|u|}{\partial x_m}$%. Для этого рассмотрим функцию $%f_h(t)={\sqrt{t^2+h^2}}$%. Очевидно, $%f_h\in C^1(G)$% и $%|f'_h(t)|\leq 1$%. Тогда в силу цепного правила для любой пробной функции $%\varphi \in C_0^\infty(G)$% $$\int\limits_G f(u)\frac{\partial\varphi}{\partial x_m}\,dx=-\int\limits_G \frac{u}{\sqrt{u^2+h^2}}\frac{\partial u}{\partial x_m}\varphi\,dx$$

Теперь устремляем $%h\to 0$%. В силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости мы получим, что

$$\int\limits_G |u|\frac{\partial\varphi}{\partial x_m}\,dx=-\int\limits_G \operatorname{sgn} u\frac{\partial u}{\partial x_m}\varphi\,dx$$,

откуда делаем вывод о том, что $%\frac{\partial |u|}{\partial x_m} = \operatorname{sgn}u\frac{\partial u}{\partial x_m}$%.

Далее, очевидно, что $%\||u|-|v|\| \leq \|u-v\|$% в $%L_p$%, поэтому задача сводится к следующей:

Существует ли такая константа $%L>0$%, что $%\|\operatorname{sgn} u\frac{\partial u}{\partial x_m} - \operatorname{sgn}v\frac{\partial v}{\partial x_m}\|\leq L\|\frac{\partial (u-v)}{\partial x_m}\|$% в $%L_p$%

Вот с последней частью и возникли проблемы: непонятно, как бороться с функцией знака. Заранее спасибо.

задан 12 Май '15 10:10

изменен 12 Май '15 10:12

10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×385
×275
×84
×1

задан
12 Май '15 10:10

показан
264 раза

обновлен
12 Май '15 10:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru