Доказать, что любую квадратную матрицу $%A$% можно представить, и при этом единственным образом, в виде $%A=B+C$%, где $%B$% - симметрическая, а $%C$% - кососимметрическая матрицы.

Помогите разобраться.

$%B$% - симметрическая, симметрическая матрица всегда квадратная

$%B=B^T, $%$%\forall i,j: b_{ij}=b_{ji}.$%

$%C$% - кососимметрическая, симметрическая матрица всегда квадратная

$%C^T =-C$%

Для $%n\times n$% матрицы $%C$% это соотношение эквивалентно: $%c_{i,j}=-c_{j,i}$% для всех $%i,j=1,2,...,n,$%

где $%a_{i,j}$% — элемент $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца матрицы $%C$%.

И есть свойство кососимметрической матрицы (Любая квадратная матрица $%A$% над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом), но здесь говорится о квадратной матрице над полем характеристики, отличной от 2.

Как всем этим правильно воспользоваться?

Рассмотреть это на примере или как?

Возьмем матрицу $%B=\begin{bmatrix}1 &0 & 0 \\0& 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $%

$%C=\begin{bmatrix}0 & 1& 2 \\-1& 0 & -3\\-2 & 3& 0 \end{bmatrix} $%

$%A=B+C=\begin{bmatrix}1 & 1& 2 \\-1& 1 & -3\\-2 & 3& 1 \end{bmatrix} $%

задан 12 Май '15 10:56

изменен 12 Май '15 17:44

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

На примере вроде видно, но, наверное, стоит доказывать не на примере? Посоветуйте, пожалуйста, как лучше все это сделать?

(12 Май '15 12:02) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть A_k - кососимметрическая, A_s - симметрическая. A^t - транспонированная матрица. Тогда должны получить A = A_k + A_s. Транспонируем обе части. A^t = (A_k + A_s)^t . Тогда по свойствам матриц (A_s)^t = A_s, (A_k)^t = -A_k. A^t = A_s - A_k. Сл-но одно временно выполняется: A + A^t = 2A_s и A - A^t = 2A_k. Отсюда A_s = (A + A^t) /2 и A_k = (A - A^t)/2. Тогда A_s + A_k = (A + A^t) /2 + (A - A^t) /2 = A чтд.

ссылка

отвечен 17 Мар '21 18:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,053
×1,510
×466
×149

задан
12 Май '15 10:56

показан
3879 раз

обновлен
17 Мар '21 18:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru