$$ \sum_1^ \infty \left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right) ^{p} \frac{3n}{n+10} $$

задан 12 Май '15 17:29

изменен 13 Май '15 7:18

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Тут был вопрос, который сейчас, судя по всему, удалён, но я на него отвечу. Если $%t\to0$%, то $%(1+t)^p=1+pt+o(t^2)$% -- это формула Тейлора с разложением до члена первой степени. Она была применена для величины $%t=-\frac1{2n}$%, которая стремится к нулю.

(13 Май '15 21:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим отношение $%n$%-го члена ряда к следующему. Легко видеть, что $%\frac{(2n+2)!!}{(2n)!!}=2n+2$% и $%\frac{(2n+1)!!}{(2n-1)!!}=2n+1$%. Отсюда $%\frac{a_n}{a_{n+1}}=\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^p\cdot\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n+11}{n+10}$%. Заметим, что $%1-\frac1{2n+2}=1-\frac1{2n}+O(n^{-2})$%, откуда $%\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^p=1-\frac{p}{2n}+O(n^{-2})$%. Ясно также, что $%\frac{n^2+11n}{n^2+11n+10}=1+O(n^{-2})$%. Всё вместе даёт $%\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{\beta}n+O(\frac1{n^2})$%, где $%\beta=-\frac{p}2$%. По критерию Гаусса, ряд сходится при $%\beta > 1$% и расходится при $%\beta\le1$%. Таким образом, сходимость имеет место при $%p < -2$%.

ссылка

отвечен 12 Май '15 23:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,554
×605
×314

задан
12 Май '15 17:29

показан
488 раз

обновлен
13 Май '15 21:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru