|
Найти собственные числа и собственные векторы оператора проектирования на подпространство в $%\mathbb R^n$%, оператора поворота плоскости, комплексификации оператора поворота плоскости и оператора дифференцирования многочленов степени $%\le n$%. задан 12 Май '15 21:00 
Leva319 |
|
Пусть $%U$% -- подпространство размерности $%m$% в $%V=\mathbb R^n$%. Выберем в $%U$% какой-нибудь базис $%e_1$%, ... , $%e_m$% и дополним его векторами $%e_{m+1}$%, ... , $%e_n$% до базиса в $%V$%. Проектирование зададим такой формулой: $%\varphi(\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_ne_n)=\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_me_m$%. При этом каждый из векторов $%e_i$% отобразится на себя при $%1\le i\le m$%, а при $%m < i\le n$% он перейдёт в нулевой вектор. Матрица $%\varphi$% в данном базисе будет диагональной. На главной диагонали будут находиться $%m$% единиц и $%n-m$% нулей. Это и есть собственные числа с учётом кратности. Для $%\lambda=1$% собственными векторами будут все векторы линейной оболочки $%{\cal L}(e_1,\ldots,e_m)$%, за исключением нулевого. Для $%\lambda=0$% собственными векторами будут все векторы линейной оболочки $%{\cal L}(e_{m+1},\ldots,e_n)$%, за исключением нулевого. Это сразу следует из определения $%\varphi$%. отвечен 12 Май '15 23:21 
falcao Спасибо, все ясно!
(13 Май '15 1:17)
Leva319
|
@Leva319: здесь слишком много подвопросов, и также не ясно, о проектировании на какое подпространство идёт речь в начале (самих подпространств много, и заданы они могут быть по-разному).
Может быть, имеет смысл обсудить какие-то отдельные пункты, чтобы не решать всё вместе?
@falcao Сам вопрос про подпространство в $% \mathbb R^n$% также не понятен, но есть подозрение, что имеется в виду, на подпространство размерности $%< n$%, например на плоскость или на $%\mathbb R^3$% и т.д., в общем виде как я понял. Про оператор поворота плоскости над полем $% \mathbb R$%, как я понимаю не будет собственных чисел и собственных векторов, а на комплексификации будут, только не очень ясно какие.
@falcao Каким образом можно в общем виде описать собственные значения и собственные вектора оператора проектирования, остальные вопросы хорошо описаны в Винберге, так что больше по ним вопросов нет.
@Leva319: при повороте на угол $%\alpha$% комплексные собственные значения находятся из характеристического уравнения $%\lambda^2-2\cos\alpha\lambda+1=0$%. Они равны $%\cos\alpha\pm i\sin\alpha$%.