1. Привести пример коммутативного кольца с единицей, в котором некоторый простой элемент порождает идеал, не являющийся простым.
  2. Привести пример коммутативного кольца с единицей, в котором некоторый простой идеал не является идеалом, порождённым простым элементом.

задан 12 Май '15 22:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

2) В одной из предыдущих задач был пример кольца $%\mathbb Z[x]$% и идеала $%I=(2,x)$%, про который было установлено, что он простой. Этот идеал не является главным, так как общими делителями $%2$% и $%x$% являются только элементы $%\pm1$%, идеалу не принадлежащие. Поэтому он не порождается никаким элементом -- в том числе простым.

1) Рассмотрим кольцо $%\mathbb Z[i\sqrt3]$%. Если элемент $%a+bi\sqrt3$% обратим, то квадрат его модуля, равный $%a^2+3b^2$%, делит 1. Это возможно только при $%a=\pm1$%, $%b=0$%.

Проверим, что элемент $%2$% прост в данном кольце. Рассмотрим разложение $%2=(a+bi\sqrt3)(c+di\sqrt3)$%. Переходя к квадратам модулей, видим, что $%4=(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)$%. Это возможно только в случае, если сомножители равны 1 и 4 (значение 2 они не принимают). Но в этом случае один из элементов обратим.

Факторкольцо $%\mathbb Z[i\sqrt3]/(2)$% состоит из четырёх элементов: $%0$%, $%1$%, $%i\sqrt3$%, $%1+i\sqrt3$%. Оно имеет делители нуля, так как $%(1+i\sqrt3)^2=-2+2i\sqrt3\in(2)$%, однако $%1+i\sqrt3\notin(2)$%. Значит, идеал $%(2)$% простым не является.

ссылка

отвечен 12 Май '15 23:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,259
×555

задан
12 Май '15 22:12

показан
888 раз

обновлен
12 Май '15 23:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru