0
1

Пользуясь алгоритмом Евклида подобрать многочлены $%u(x)$% и $%v(x)$% так, чтобы $%f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x),$% где $%d(x)=(f(x),g(x))$%

$%f(x)=3x^5+5x^4-16x^3-6x^2-5x-6$%

$%g(x)=3x^4-4x^3-x^2-x-2$%

Применим к многочленам $%f(x)$% и $%g(x)$% алгоритм Евклида:

$%f(x)=3x^5+5x^4-16x^3-6x^2-5x-6 : g(x)3x^4-4x^3-x^2-x-2$%

$%q_1(x)=x+3, r_1(x)=-3x^3-2x^2$%


$%g(x)=3x^4-4x^3-x^2-x-2:r_1(x)=-3x^3-2x^2$%

$%q_2(x)=-x+2, r_2(x)=3x^2-x-2$%

Следовательно, $%d(x)=3x^2-x-2$%-наибольший общий делитель многочленов $%f(x)$% и $%g(x)$%


$%r_1(x)=-3x^3-2x^2:r_2(x)=3x^2-x-2$%

$%q_3(x)=-x-1, r_3(x)=-3x-2$%


$%r_2(x)=3x^2-x-2:r_3(x)=-3x-2$%

$%q_4(x)=-x+1, r_4(x)=0$%


$%d(x)=r_3(x)=-3x-2$%

Делим $%f(x)$% и $%g(x)$% на $%d(x)$%:

$%f_1(x)=\frac{f(x)}{d(x)}= - x^4 - x^3 + 6x^2 - 2x + 3 (n=4)$%

$%g_1(x)=\frac{g(x)}{d(x)}= -x^3 + 2x^2 - x + 1(m=3)$%

Многочлены $%f_1(x)$% и $%g_1(x)$% взаимно просты. Поэтому должен существовать такой многочлен $%u(x)$% степени не выше $%2$% и многочлен $%v(x)$% степени не выше $%3$% чтобы $%f_1(x)u(x)+g_1(x)v(x)=1$%. Полагаем $%u(x)=a_0+a_1x+a_2x^2, v(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3$% и получаем:

$%(- x^4 - x^3 + 6x^2 - 2x + 3 )(a_0+a_1x+a_2x^2)+(-x^3 + 2x^2 - x + 1)(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3)=1$%

Раскрываем скобки и группируем:

$%(-a_2-b_3)x^6+(-a_1-a_2-b_2+2b_3)x^5+(-a_0-a_1+6a_2-b_1+2b_2-b_3)x^4+$%

$%+(-a_0+6a_1-2a_2-b_0+2b_1-b_2+b_3)x^3+(6a_0-2a_1+3a_2+2b_0-b_1+b_2)x^2+$%

$%+(-2a_0+3a_1-b_0+b_1)x+(-3a_0+b_0-1)=0$%

$%\begin{cases}-a_2-b_3=0 \\-a_1-a_2-b_2+2b_3=0\\-a_0-a_1+6a_2-b_1+2b_2-b_3=0\\ -a_0+6a_1-2a_2-b_0+2b_1-b_2+b_3=0\\6a_0-2a_1+3a_2+2b_0-b_1+b_2=0\\-2a_0+3a_1-b_0+b_1=0\\-3a_0+b_0-1=0\\\end{cases} $%

$%\begin{cases}b_3=-a_2 \\-a_1-3a_2-b_2=0\\-a_0-a_1+7a_2-b_1+2b_2=0\\ -a_0+6a_1-3a_2-b_0+2b_1-b_2=0\\6a_0-2a_1+3a_2+2b_0-b_1+b_2=0\\-2a_0+3a_1-b_0+b_1=0\\-3a_0+b_0-1=0\\\end{cases} $%

$%\begin{cases}b_3=-a_2\\b_0=1+3a_0 \\-a_1-3a_2-b_2=0\\-a_0-a_1+7a_2-b_1+2b_2=0\\ -4a_0+6a_1-3a_2+2b_1-b_2-1=0\\12a_0-2a_1+3a_2-b_1+b_2+2=0\\-5a_0+3a_1+b_1-1=0\\\end{cases} $%

$%\begin{cases}b_3=-a_2\\b_0=1+3a_0 \\a_1=-3a_2-b_2\\-a_0+10a_2-b_1+3b_2=0\\ -4a_0-21a_2+2b_1-7b_2=1\\12a_0+9a_2-b_1+3b_2=-2\\-5a_0-9a_2-3b_2+b_1=1\\\end{cases} $%

$%\begin{bmatrix}-1 & 10 & -1 & 3 & 0 \\-4 & -21 & 2 & -7 & 1\\12 & 9 &-1 & 3 & -2\\-5 & -9 & 1 & -3 & 1\end{bmatrix} $%

$%\begin{cases}a_0=-\frac{1}{7}\\a_2=\frac{1}{7}\\b_1=\frac{5}{7}\\b_2=-\frac{2}{7}\end{cases} $%

Следовательно, $%b_3=-\frac{1}{7}, b_0=\frac{4}{7}, a_1=-\frac{1}{7}$%

Получаем $%u(x)=-\frac{1}{7}-\frac{1}{7}x+\frac{1}{7}x^2, v(x)=\frac{4}{7}+\frac{5}{7}x-\frac{2}{7}x^2-\frac{1}{7}x^3$%

задан 12 Май '15 22:36

изменен 13 Май '15 23:15

Сначала надо найти НОД многочленов при помощи алгоритма Евклида. Это и будет $%d(x)$%. Затем разделить оба многочлена на $%d(x)$%. Получатся многочлены $%f_1(x)$% и $%f_2(x)$%. Далее надо найти $%u(x)$%, $%v(x)$% такие, что $%f_1(x)u(x)+g_1(x)v(x)=1$%. Проще всего применить для этого метод неопределённых коэффициентов. Способ решения можно посмотреть в задачниках по высшей алгебре -- например, у Окунева, или у Фаддеева - Соминского. Там всё на примерах разобрано.

(12 Май '15 22:47) falcao

@s1mka: ошибка в том, что Вы алгоритм Евклида реализовали не до конца. Он оканчивается, когда произошло деление нацело, то есть без остатка. И тогда последний ненулевой остаток будет равен НОД. Вам надо было продолжить, поделив $%r_1(x)$% на $%r_2(x)$%, получая $%r_3(x)$%. А потом $%r_2(x)$% делить на $%r_3(x)$%. Если это проделать как полагается, то и в конце всё сойдётся.

(13 Май '15 13:02) falcao

@s1mka: да, метод именно такой. Теперь надо раскрыть скобки, привести подобные, и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях. Получится система из 7 уравнений от 7 неизвестных. Она не очень сложная, но там при решении могут получиться дробные коэффициенты. Когда Вы их найдёте, то не задавайте вопроса, правильно это или нет. Потому что полным раскрытием скобок для исходного условия задачи сможете себя проверить.

(13 Май '15 16:14) falcao

@s1mka: да, поскольку это тождество, верное при любом x, то все коэффициенты должны быть равны нулю, что и даёт систему, которую нужно далее решить (методом исключения неизвестных).

(13 Май '15 17:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

У Вас получилась система из четырёх уравнений от $%a_0$%, $%a_2$%, $%b_1$%, $%b_2$%. Она уже относительно небольшая, и имеет достаточно общий вид. Конечно, можно теперь так же точно выразить $%a_0$% и продолжить, но эту подсистему лучше уже решить матричным методом.

ссылка

отвечен 13 Май '15 21:55

@falcao не могу понять, как это сделать, помогите, пожалуйта.

(13 Май '15 21:58) s1mka

@s1mka: не можете понять -- что именно? Вы же сами спрашивали про решение систем линейных уравнений с помощью матриц. Такого рода вещи разбираются в учебниках по линейной алгебре. Или в Сети можете поискать примеры на тему "метод Гаусса" -- их там много. Это не такая вещь, которая рассказывается в двух словах -- это элемент базовой подготовки, причём достаточно важный. То есть это надо как следует разучить в общем виде.

(13 Май '15 22:02) falcao

@falcao я имела в виду, что затрудняюсь ее правильно сотавить.

(13 Май '15 22:08) s1mka

@falcao так?

(13 Май '15 22:12) s1mka

@s1mka: я сейчас заметил, что в последнем уравнении Вы не избавились от $%a_1$%. Надо это сделать, и получится система от четырёх неизвестных. Свободные члены лучше перенести в правую часть. Потом коэффициенты записываем в матрицу, как обычно. В ней будет 4 строки и пять столбцов -- с учётом свободных членов. Первые три уравнения из семи в систему не войдут.

(13 Май '15 22:34) falcao

@s1mka: дальше находите оставшиеся неизвестные (те первые три, которые выражены). Это фактически будет ответ, так как искали коэффициенты неизвестных многочленов $%u(x)$%, $%v(x)$%.

(13 Май '15 23:06) falcao

@falcao спасибо вам огромное.

(13 Май '15 23:16) s1mka
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,705
×1,540
×78
×9

задан
12 Май '15 22:36

показан
2175 раз

обновлен
13 Май '15 23:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru