Разложить линейный функционал tr(A) на пространстве матриц M2 квадратных матриц порядка 2 по базису, двойственному к стандартному базису в M2. А также каким образом делается разложение по двойственному базису линейных функционалов, где можно прочитать про это?

задан 13 Май '15 14:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%V$% -- линейное пространство с базисом $%e_1$%, ... , $%e_n$%. Линейный функционал на $%V$% однозначно задаётся своими значениями на базисных векторах, причём эти значения можно задавать произвольно. Среди таких функционалов можно выделить наиболее естественные в каком-то смысле. А именно, для каждого $%i$% от $%1$% до $%n$% построим функционал $%f_i$%, полагая его значение на $%e_i$% равным единице, а на остальных базисных векторах его значение равно нулю. Иными словами, $%f_i(e_i)=1$%, и $%f_i(e_j)=0$% при $%i\ne j$%.

Если $%f$% -- произвольный линейный функционал, то легко видеть, что $%f=\alpha_1f_1+\cdots+\alpha_nf_n$% с коэффициентами $%\alpha_i=f(e_i)$% ($%1\le i\le n$%). Это равенство проверяется для каждого базисного вектора, откуда следует равенство функций на всём пространстве.

Из сказанного следует, что $%f_1$%, ... , $%f_n$% есть базис в сопряжённом пространстве $%V^{\ast}$% (пространстве функционалов). Он и называется двойственным базисом.

Теперь, применительно к данной задаче, надо рассмотреть каждую из матриц стандартного базиса и найти её след. Пусть $%e_{ij}$% ($%1\le i,j\le2$%) -- матричные единицы, то есть векторы стандартного базиса в $%M_2$%. Очевидно, что $%tr\,e_{11}=tr\,e_{22}=1$%, а также $%tr\,e_{12}=tr\,e_{21}=0$%. Это и будут координаты функционала $%tr$% в двойственном базисе, который в данном случае естественно обозначить в виде $%f_{ij}$% ($%1\le i,j\le2$%). В этих обозначениях, $%tr=f_{11}+f_{22}$%.

ссылка

отвечен 13 Май '15 16:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,512

задан
13 Май '15 14:58

показан
2815 раз

обновлен
13 Май '15 16:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru