Здравствуйте!
Задача такая. Дано дифференциальное уравнение $%x'' - \sin x = 0$% с начальными условиями $%x(0) = \frac \pi2$%; $%x'(0) = 0$%. При каких значениях $%x$% величина $%x'$% примет значение, равное $%\sqrt 2$%?

У меня вопрос - это какого типа, вообще, уравнение? Как такие решать?

задан 13 Май '15 17:10

изменен 14 Май '15 8:17

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Если $%x''(t)=\sin t$%, то всё просто -- надо два раза проинтегрировать. А если там синус от самой функции, то это что-то сложное -- в явном виде непонятно, как его решать. Разве если с помощью рядов.

(13 Май '15 17:17) falcao

@falcao: Нет, там синус от x написано... В том-то и проблема. ( Это я бред сначала написала про 2 раза проинтегрировать. Видимо, тоже подумала, что там sin(t).

(13 Май '15 17:20) Math_2012

@Anna_2012: в этом случае аналитическое решение очень трудно себе представить. Можно найти несколько членов ряда -- это единственное, что приходит в голову. Скажем, $%x''(0)=\sin(x(0))=1$%; далее $%x'''=x'\cos x$%, и в нуле будет 0, и так далее. Этим способом что-то получить, наверное, можно.

(13 Май '15 17:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть переменная в исходной задаче - $%y$%... Тогда рассматривая её как новую искомую функцию, а $%x$% - как новую переменную, получим задачу Коши $$ \frac{y''}{(y')^3}+\sin(x)=0, \quad y(\pi/2)=0, \quad y'(\pi/2)=\infty. $$ Один раз уравнение интегрируется ...

==============================

UPD: Невнимательно прочитал, что надо найти...

Проще умножить уравнение на $%x'$% и проинтегрировать... получите, что $$ \frac{(x')^2}{2}=-\cos(x) $$ Поставите значение производной и найдёте ответ...

ссылка

отвечен 14 Май '15 0:44

изменен 14 Май '15 2:04

1

@all_exist: хорошая идея, но там получается эллиптический интеграл, если верить Maple. То есть сама функция $%x$% в "удобоваримом" виде всё-таки не выписывается, но зато ответ на вопрос задачи сразу следует. Красивая вещь!

(14 Май '15 2:14) falcao

@falcao, я сперва писал про эллиптический интеграл... но при внимательном прочтении условия понял, что это не в ту сторону и стёр эту фразу... Вообще первый описанный мной способ решения из разряда ректальных... Это уравнение допускает стандартное действие по понижению порядка $%x'=p(x)$% ...

(15 Май '15 14:07) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×882

задан
13 Май '15 17:10

показан
305 раз

обновлен
15 Май '15 14:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru