Докажите, что точка пересечения касательных к параболе, образующих прямой угол, лежит на директрисе этой параболы. Докажите, что все точки директрисы удовлетворяют этому условию.

задан 13 Май '15 19:11

@Black_Doom, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(14 Май '15 8:00) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно считать, что парабола задана уравнением $%y=ax^2$%, где $%a > 0$%. Рассмотрим некоторую точку $%x_0$%. Производная функции в этой точке равна $%k=2ax_0$%, и это угловой коэффициент касательной. У перпендикулярной прямой угловой коэффициент равен $%-\frac1k=-\frac1{2ax_0}$%, и ему соответствует точка $%x_1$% такая, что $%2ax_1=-\frac1k$%, то есть $%x_1=-\frac1{4a^2x_0}$%.

Рассмотрим уравнения обеих касательных. Они имеют вид $%y=2ax_0(x-x_0)+ax_0^2$% и $%y=-\frac{x-x_1}k+ax_1^2=-\frac1{2ax_0}(x+\frac1{4a^2x_0})+\frac1{16a^3x_0^2}$%. Приравнивая правые части, находим $%x=\frac12x_0-\frac1{8a^2x_0}$%. Это абсцисса точки пересечения. Подстановка в первое уравнение даёт $%y=-\frac1{4a}$%, а это уравнение директрисы.

Обратное утверждение следует из того факта, что выражение $%x=\frac12x_0-\frac1{8a^2x_0}$% может принимать любые вещественные значения. Это становится видно, если устремить $%x_0$% к бесконечности (в обе стороны). Отсюда следует, что любая точка на директрисе обладает нужным свойством.

P.S. Решить можно, скорее всего, покороче: я здесь записал рассуждение "в лоб". Думаю, что можно геометрически доказать то же самое, без вычислений.

ссылка

отвечен 13 Май '15 19:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×85
×36

задан
13 Май '15 19:11

показан
1278 раз

обновлен
14 Май '15 8:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru