Определить $%a, b, c$% так,чтобы они были корнями уравнения $%x^3+ax^2+bx+c=0$%

$%f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$%

$%f(x)=x^3−(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x−abc$%

$%\begin{cases}a+b+c=−a\\ab+ac+bc=b\\abc=−c\end{cases} $%

задан 13 Май '15 21:01

изменен 13 Май '15 23:18

На основании формул составьте три уравнения, связывающие $%a,b$% и $%c$%, затем решайте эту систему.

(13 Май '15 21:15) EdwardTurJ

@EdwardTurJ так?

(13 Май '15 22:02) s1mka

@s1mka: Да, решайте систему.

(13 Май '15 22:15) EdwardTurJ

@EdwardTurJ что-то я делаю не так?

(13 Май '15 22:25) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
1

Система получается не самая простая, так что имеет смысл ответить подробно.

Если в произведении $%(x-a)(x-b)(x-c)$% раскрыть скобки, то получится $%x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc$%. При этом возникает система из трёх уравнений (один многочлен тождественно равен другому): $%a+b+c=-a$%; $%ab+ac+bc=b$%; $%abc=-c$%. Это система уравнений.

Начнём с самого последнего: $%(ab+1)c=0$%. Получается, что $%c=0$% или $%ab=-1$%.

1) $%c=0$%. Уравнения принимают вид $%2a+b=0$% и $%ab=b$%. Последнее означает, что $%b=0$% или $%a=1$%. Если $%b=0$%, то $%a=0$%. Тогда $%a=b=c=0$% -- одно из решений. Если $%a=1$%, то $%b=-2$%. Здесь $%(a,b,c)=(1,-2,0)$% -- второе решение.

2) $%ab=-1$%. Первое уравнение приобретает вид $%2a+b+c=0$%, то есть $%c=-2a-b$%. Второе уравнение: $%(a+b)c=b+1$%, откуда $%(2a+b)(a+b)+b+1=0$%. Упрощаем: $%2a^2+b^2+b-2=0$% с учётом равенства $%ab=-1$%.

Ясно, что $%a\ne0$%, и тогда можно выразить $%b=-\frac1a$% и подставить. Получится $%2a^2+\frac1{a^2}-\frac1a-2=0$%, то есть $%2a^4-2a^2-a+1=0$%. Легко видеть, что $%a=1$% является корнем. При этом $%b=-1$% и $%c=-2a-b=-1$%, что даёт третье решение $%(a,b,c)=(1,-1,-1)$%.

Теперь разделим многочлен 4-й степени на $%a-1$% по схеме Горнера, и получится такое разложение на множители: $%(a-1)(2a^3+2a^2-1)=0$%. Кубическое уравнение $%2a^3+2a^2-1=0$% имеет действительный корень, причём ровно один, так как левая часть монотонно возрастает. Это иррациональный корень, и он может быть найден либо по формуле Кардано (очень громоздко!), либо можно ограничиться приближёнными значениями. Они дают четвёртое решение системы: $%a\approx0.5651977174$%, $%b\approx-1.769292354$%, $%c\approx0.638896919$%.

Итого имеется четыре решения системы.

P.S. Фамилия Виет пишется с одной "т".

ссылка

отвечен 13 Май '15 22:30

изменен 13 Май '15 23:10

@falcao простите меня опечаталась, устала очень уже

(13 Май '15 23:17) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,540
×999

задан
13 Май '15 21:01

показан
432 раза

обновлен
13 Май '15 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru