высшая-математика - Формула Виета

Система получается не самая простая, так что имеет смысл ответить подробно.

Если в произведении $%(x-a)(x-b)(x-c)$% раскрыть скобки, то получится $%x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc$%. При этом возникает система из трёх уравнений (один многочлен тождественно равен другому): $%a+b+c=-a$%; $%ab+ac+bc=b$%; $%abc=-c$%. Это система уравнений.

Начнём с самого последнего: $%(ab+1)c=0$%. Получается, что $%c=0$% или $%ab=-1$%.

1) $%c=0$%. Уравнения принимают вид $%2a+b=0$% и $%ab=b$%. Последнее означает, что $%b=0$% или $%a=1$%. Если $%b=0$%, то $%a=0$%. Тогда $%a=b=c=0$% -- одно из решений. Если $%a=1$%, то $%b=-2$%. Здесь $%(a,b,c)=(1,-2,0)$% -- второе решение.

2) $%ab=-1$%. Первое уравнение приобретает вид $%2a+b+c=0$%, то есть $%c=-2a-b$%. Второе уравнение: $%(a+b)c=b+1$%, откуда $%(2a+b)(a+b)+b+1=0$%. Упрощаем: $%2a^2+b^2+b-2=0$% с учётом равенства $%ab=-1$%.

Ясно, что $%a\ne0$%, и тогда можно выразить $%b=-\frac1a$% и подставить. Получится $%2a^2+\frac1{a^2}-\frac1a-2=0$%, то есть $%2a^4-2a^2-a+1=0$%. Легко видеть, что $%a=1$% является корнем. При этом $%b=-1$% и $%c=-2a-b=-1$%, что даёт третье решение $%(a,b,c)=(1,-1,-1)$%.

Теперь разделим многочлен 4-й степени на $%a-1$% по схеме Горнера, и получится такое разложение на множители: $%(a-1)(2a^3+2a^2-1)=0$%. Кубическое уравнение $%2a^3+2a^2-1=0$% имеет действительный корень, причём ровно один, так как левая часть монотонно возрастает. Это иррациональный корень, и он может быть найден либо по формуле Кардано (очень громоздко!), либо можно ограничиться приближёнными значениями. Они дают четвёртое решение системы: $%a\approx0.5651977174$%, $%b\approx-1.769292354$%, $%c\approx0.638896919$%.

Итого имеется четыре решения системы.

P.S. Фамилия Виет пишется с одной "т".