Найти количество нильпотентных элементов в кольце $%\mathbb F_7[x] / (x^{14}+x^7+2)$%.

задан 13 Май '15 21:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Заметим, что $%x^{14}+x^7+2=x^{14}-6x^7+9=(x^7-3)^2$% над полем характеристики 7. Помимо этого, с учётом "детской биномиальной теоремы", а также малой теоремы Ферма, $%(x-3)^7=x^7-3^7=x^7-3$% над полем $%\mathbb F_7$%. Таким образом, мы имеем дело с факторкольцом $%\mathbb F_7[x]/((x-3)^{14})$%.

Факторкольцо вида $%\mathbb F_7[x]/(f(x))$% состоит из $%7^n$% элементов, где $%n=\deg f$%. Пусть $%I=((x-3)^{14})$%. Если многочлен $%g(x)$% делится на $%x-3$% (всё над основным полем из 7 элементов), то $%(g(x)+I)^{14}=g(x)^{14}+I=I$%, и элемент факторкольца нильпотентен. Обратно, если $%g(x)$% не делится на $%x-3$%, то ни при каком натуральном $%m$% многочлен $%g(x)^m$% не будет делиться на $%x-3$%, а потому не будет принадлежать $%I$%. Это даёт описание нильпотентных элементов факторкольца.

Если рассматривается факторкольцо по главному идеалу $%(f(x))$%, то его элементы можно отождествить с остатками от деления на $%f(x)$%, то есть со всеми многочленами степени меньше $%n$%. Нас интересуют многочлены вида $%(x-3)h(x)$% степени не более 13, и их столько же, сколько многочленов $%h(x)$% над основным полем, степень которых не более 12. Это количество равно $%7^{13}$%, то есть каждый седьмой элемент факторкольца нильпотентен.

Если по поводу нулевого элемента принимается соглашение, что он не учитывается, то из ответа надо вычесть единицу.

ссылка

отвечен 13 Май '15 23:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730
×308
×60

задан
13 Май '15 21:41

показан
412 раз

обновлен
13 Май '15 23:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru