Известно, что $%u_n(x)\sim v_n(x)$% при $%n\to \infty, u_n(x)\ge0, v_n(x)\ge0$% для всех $%x\in\mathbb R$%. Ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$% сходится равномерно на $%\mathbb R$%. Верно ли, что ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n(x)$% сходится равномерно на $%\mathbb R$%? Доказать или опровергнуть примером.

задан 13 Май '15 22:29

изменен 14 Май '15 8:32

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

В качестве $%u_n(x)$% возьмём какой-нибудь сходящийся ряд, не зависящий от $%x$%. Например, положим $%u_n(x)=2^{-n}$%. Он будет равномерно сходиться на любом множестве.

Поскольку $%1+\frac{|x|}n$% стремится к единице при каждом фиксированном $%x$%, где $%n\to\infty$%, мы получим эквивалентную последовательность $%v_n(x)=2^{-n}(1+\frac{|x|}n)\sim u_n(x)$%. Ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n(x)$% равен сумме двух сходящихся рядов: равномерно сходящегося ряда $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$%, и ряда $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|x|}{n2^n}$%. Равномерная сходимость полностью зависит от второго ряда. Но она, очевидно, не имеет места на всей числовой прямой. Действительно, если бы таковая имела место, то для любого $%\varepsilon > 0$% нашёлся бы такой номер $%n_0$%, для которого $%\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{|x|}{n2^n} < \varepsilon$% для всех $%x$% (модули не пишем, так как все члены положительны). Ясно, что это не так, поскольку $%|x| > 2^{n_0}n_0\varepsilon$% для достаточно больших $%x$%.

ссылка

отвечен 14 Май '15 1:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×589
×303
×226
×27

задан
13 Май '15 22:29

показан
358 раз

обновлен
14 Май '15 1:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru