Найти порядок группы обратимых элементов колец
1. $%\mathbb F_7[x]/(x^2+3x-5)$%
2. $%\mathbb F_3[x]/(x^2+x+1)$%

задан 13 Май '15 23:57

10|600 символов нужно символов осталось
2

1) Решим квадратное уравнение $%x^2+3x-5=0$% над полем $%\mathbb F_7$%. Сначала сделаем коэффициент при $%x$% чётным, а затем выделим полный квадрат. Получится $%x^2-4x=5$%, то есть $%(x-2)^2=3^2$%. Отсюда находим корни, вместе с разложением на множители: $%x^2+3x-5=(x+1)(x-5)$%. Это же самое можно было сделать простым подбором.

Из общих соображений следует, что факторкольцо состоит из 49 элементов, и представители смежных классов -- это все многочлены вида $%ax+b$%, где $%a,b\in\mathbb F_7$%. Ясно, что если такой многочлен делится на $%x+1$% или $%x-5$%, то он задаёт необратимый элемент. Верно и обратное, так как в этом случае многочлен $%f(x)=ax+b$% взаимно прост с $%(x+1)(x-5)$%. По известной лемме, существуют $%u(x)$% и $%v(x)$% такие, что $%1=f(x)u(x)+(x+1)(x-5)v(x)$%. Класс многочлена $%u(x)$% даст обратный элемент.

Таким образом, из ненулевых элементов кольца необратимы $%k(x+1)$% и $%k(x-5)$%, где $%k\ne0$%. Этих многочленов имеется по 6, и вместе с нулём необратимых элементов кольца получается 13. Остальные $%49-13=36$% элементов обратимы, и они образуют группу.

2) Здесь рассуждения аналогичны. Отличие в том, что $%x^2+x+1=(x-1)^2$% над $%\mathbb F_3$%, то есть корень является кратным. Помимо нуля, необратимы многочлены $%x-1$% и $%2(x-1)$%. Все остальные многочлены степени не выше первой взаимно просты с $%(x-1)^2$%, поэтому обратимы. Всего элементов в факторкольце 9, и группа обратимых элементов имеет порядок $%6$%. Можно дополнительно заметить, что она циклическая, и $%x+1$% является её порождающим.

ссылка

отвечен 14 Май '15 0:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750
×332

задан
13 Май '15 23:57

показан
467 раз

обновлен
14 Май '15 0:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru