Построить изоморфизм полей $%\mathbb F_5[x]/(x^2-2)$% и $%\mathbb F_5[x]/(x^2-3)$%.

задан 14 Май '15 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим гомоморфизм колец многочленов $%\mathbb F_5[x]\to\mathbb F_5[x]$%, при котором многочлен $%f(x)$% переходит в $%f(2x)$%. Возьмём его композицию $%\varphi$% с естественным гомоморфизмом $%\mathbb F_5[x]\to\mathbb F_5[x]/(x^2-2)$%.

Многочлен $%x^2-3$% отображается в класс вычетов многочлена $%\varphi(x^2-3)=(2x)^2-3=4x^2-8=4(x^2-2)$% (все равенства -- над полем коэффициентов из пяти элементов), то есть в нулевой класс. Это значит, что $%x^2-3$% принадлежит ядру $%\varphi$%, то есть главный идеал $%(x^2-3)$% содержится в ядре. Из теорем о гомоморфизмах следует, что $%\varphi$% пропускается через $%\mathbb F_5[x]/(x^2-3)$%, то есть существует индуцированный гомоморфизм $%\bar{\varphi}\colon\mathbb F_5[x]/(x^2-3)\to\mathbb F_5[x]/(x^2-2)$%, определённый по формуле $%\bar{\varphi}(f(x)+I)=\varphi(f(x))$%, где $%I=(x^2-3)$%. Корректность этого определения вытекает из того, что $%I$% содержится в ядре $%\varphi$%.

Оба многочлена $%x^2-2$% и $%x^2-3$% неприводимы над $%\mathbb F_5$%, так как ни один из них не имеет корней в данном поле. Поэтому факторкольца являются полями одного и того же порядка $%5^2$%. Нетрудно видеть, что гомоморфизм $%\bar{\varphi}$% сюръективен, так как класс многочлена $%3x$% переходит в класс многочлена $%6x=x$%, порождающего всё кольцо. Ввиду того, что отображение множества мощности 25 в множество мощности 25 сюръективно, оно является также инъективным. Значит, мы построили биективный гомоморфизм, то есть изоморфизм двух колец (полей).

Пояснение. Многочлен $%2x$% был здесь подобран так. Нужен был такой многочлен $%ax+b$%, квадрат которого равен 3 по модулю $%x^2-2$%. Это значило, что $%a^2x^2+2abx+b^2-3$% делится на $%x^2-2$%. Остаток от деления равен $%2abx+2a^2+b^2-3$%, и он должен быть нулевым. Вариант $%a=0$% не годится, а при $%b=0$% подходит $%a=2$%.

ссылка

отвечен 14 Май '15 0:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×332

задан
14 Май '15 0:00

показан
1091 раз

обновлен
14 Май '15 0:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru