|
Функции $%u_n(x), n \in \mathbb N$% непрерывны на $%[a,b]$% и функциональный ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$% сходится равномерно на $%[a,b]$%. Верно ли, что для любой сходящейся последовательности $%\{x_n\}\subset[a,b]$% ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_n)$% сходится? задан 14 Май '15 3:49 
Uchenitsa |
|
Пусть $%x_0=b$%; $%x_1$% -- середина $%[a,b]$%, $%x_2$% -- середина $%[a,x_1]$%, ... , $%x_{n+1}$% -- середина $%[a,x_n]$%, и так далее. Ясно, что $%x_n$% сходится к $%a$%. Для каждого $%n\ge1$% строим кусочно-линейную функцию $%u_n(x)$% следующего вида: полагаем $%u_n(x_n)=\frac1n$%, $%u_n(x)=0$% при $%x\in[a,x_n']\cup[x_n'',b]$%, где $%x_n'$% -- середина $%[x_{n+1},x_n]$%, и $%x_n''$% -- середина $%[x_n,x_{n-1}]$%. В остальных точках продолжаем функцию по линейности. Ясно, что ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1n$% расходится. При этом функции вида $%u_n(x)$% построены так, что в каждой точке $%x$% только одна из этих функций может принимать ненулевое значение. Поэтому функциональный ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$% сходится к функции $%u(x)$%, график которой составлен из отдельных "зубцов", соответствующих графикам функций вида $%u_n(x)$%. Понятно, что для любого $%\varepsilon > 0$% найдётся номер $%n_0$% (достаточно взять $%n_0 > 1/\varepsilon$%), для которого сумма ряда $%\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}u_n(x)$% будет меньше $%\varepsilon$% для всех $%x$%, так как максимум значений функции $%u_n(x)$% равен $%\frac1n$%, и он стремится к нулю. Поэтому функциональный ряд на $%[a,b]$% сходится к $%u(x)$% равномерно. отвечен 14 Май '15 10:45 
falcao |