Теорема: Пусть функция $%f(x)$% определена и непрерывна на промежутке $%[a;b]$% и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между $%a$% и $%b$% найдется точка $%t$%, в которой функция обращается в нуль.

Почему здесь в книгах дают "строгое доказательство" оговаривая, что геометрическая интуиция его не заменяет. Ведь есть в математике и графический метод, который достаточно строг. Так почему мы в этой теореме не можем им воспользоваться?

P.S. Вопрос касается не только этой теоремы матанализа, но эта на мой взгляд самая наглядная.

задан 14 Май '15 16:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я думаю по этому поводу следующее. Теоретическое понятие непрерывности несколько отличается от интуитивного. Скажем, одно дело графики окружностей и парабол, и совсем другое -- функции типа $%\sin\frac1x$%, не говоря о канторовых лестницах, кривых Пеано и прочем.

У графического метода есть границы применимости. В ряде случаев он может давать обманчивые выводы. Вот весьма поучительный пример.

Бывает так, что рассуждения наглядно-геометрического уровня, использующие соображения непрерывности, принято засчитывать (скажем, на олимпиадах). Но в основе этих вещей лежит сформулированная теорема или какие-то её аналоги. Помимо всего прочего, здесь существенно используется теория действительных чисел. Ведь в рациональных числах решения может не существовать, хотя эти числа расположены на прямой всюду плотно. Поэтому принцип Кантора или какой-то его эквивалент здесь важен, и в теории это надо продемонстрировать хотя бы на одном примере.

Вспоминаю ещё пример из реальной практики. На одной из областных олимпиад была задача, в которой надо было находить точки пересечения синусоиды и графика линейной функции. Тем, кто применил аналитические соображения, решение зачли. Тем, кто не применял, или не зачли, или зачли частично. Люди пришли на апелляцию. Я им сказал следующее: вот у нас есть графики, и по ним вроде бы всё видно, но наши зрительные способности ограничены, и точно можно сказать, что никто из нас "на глазок" не умеет отличать прямую с угловым коэффициентом 0,999 от прямой с угловым коэффициентом 1,001. А от этого принципиально зависит число точек пересечения -- когда она одна, и когда их много. Поэтому там без аналитики не обойтись: именно первый замечательный предел показывает "критичность" случая k=1.

ссылка

отвечен 14 Май '15 18:24

Спасибо большое!

(14 Май '15 19:28) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,553

задан
14 Май '15 16:40

показан
235 раз

обновлен
14 Май '15 19:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru