Как вычислить поток векторного поля $$\bar{a}(M)$$ через поверхность S в указанном направлении? $$\bar{a}(M)=(y^2+x)\bar{i}-(xz+y)\bar{j}+(\sqrt{x^2+1}+z)\bar{k}$$ $$S:x^2+y^2=z^2; z=2, z=3.$$ Нормаль внешняя.

задан 15 Июн '12 18:58

изменен 15 Июн '12 19:46

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

Разбить поверхность на 3 части, одну конусовидную и две плоские. На плоских частях dz = 0. Значит, остаются только интегралы от $%(\sqrt{x^2+1}+3)dxdy$% и $%(\sqrt{x^2+1}+2)dxdy$%, по соответствующим кругам, причем первый интеграл берется "с плюсом", а второй - "с минусом".
Для конуса единичная нормаль имеет вид $%(x, y, -z)/z\sqrt 2$%. На нее надо умножить интегрируемый вектор. И проинтегрировать по кольцу $%4\le x^2+y^2\le 9$%, по нижней части (т.е. взять двойной интеграл с минусом).

Впрочем, для замкнутой поверхности обычно удобней пользоваться формулой Остроградского. В данном случае $%div \bar a=3$%, так что поток равен утроенному объему области. Этот объем можно найти без помощи интеграла, как разность объемов двух конусов.

ссылка

отвечен 15 Июн '12 19:51

изменен 15 Июн '12 19:57

По-моему $%diva=\frac{d(y^2+x)}{dx}-\frac{d(xz+y)}{dy}+\frac{d(\sqrt{x^2+1}+z)}{dz}=1$%

(15 Июн '12 20:42) dmg3

Точно, я на знак не обратила внимания.

(16 Июн '12 0:32) DocentI

До данного момента у меня все получилось...Div(a) я посчитала,не понимаю,что делать дальше?

(17 Июн '12 0:16) Eva

Вот таой интеграл должен получиться? $$ \prod =\int \int_{Gyz} (y^2+x)\left |{x^2=y^2-z^2} dydz-\int \int{Gxz}(xz+y))\left |{y^2=x^2-z^2} dxdz+\int \int{Gxy}(\sqrt{x^2+1}+z))\left |_{9}^{4}dxd $$

(17 Июн '12 18:11) Eva
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×336
×19

задан
15 Июн '12 18:58

показан
1248 раз

обновлен
17 Июн '12 18:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru