Найти наименьшее конечное поле характеристики $%2$%, в котором многочлен $%x^{14}+1$% раскладывается на линейные множители.

задан 14 Май '15 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
3

Легко видеть, что $%x^{14}+1=(x^7+1)^2$% над полем характеристики 2. Поэтому достаточно разложить на линейные множители многочлен $%x^7+1$%. Если поле состоит из 8 элементов, то его мультипликативная группа состоит из 7 элементов, поэтому $%x^7=1$% для любого ненулевого элемента. Значит, многочлен $%x^7-1$% имеет в таком поле 7 различных корней, и по теореме Безу он раскладывается на линейные множители.

Над полем порядка 4 многочлен разложен быть не может. Действительно, в таком поле $%x^3=1$% для любого ненулевого элемента. Корень $%x$% многочлена $%x^{14}+1$% может быть только единицей, как следствие двух уравнений $%x^3=1$% и $%x^{14}=1$%. Однако тогда разложение может имеет вид только $%(x+1)^{14}$%. Ввиду того, что $%C_{14}^2$% равно 1 по модулю 2, коэффициент при $%x^2$% нечётен, то есть такой многочлен не равен $%x^{14}+1$%. Значит, наименьшее поле имеет порядок $%8$%.

ссылка

отвечен 14 Май '15 22:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×393
×376

задан
14 Май '15 21:13

показан
628 раз

обновлен
14 Май '15 22:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru