Указать степени неприводимых делителей многочленов
1. $%x^5-2$% из кольца $%\mathbb F_{67}[x]$%
2. $%x^{28}-1$% из кольца $%\mathbb F_3[x]$%

задан 14 Май '15 21:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

1) Рассмотрим уравнение $%x^5=2$% над полем $%\mathbb F_{67}$%. Поскольку $%x\ne0$%, этот элемент принадлежит мультипликативной группе поля, и $%x^{66}=1$%. Тогда $%x^{-1}=x^{65}=(x^5)^{13}=2^{13}=2\cdot(2^6)^2=2(-3)^2=18$% над данным полем. Осталось найти обратный элемент. Это легко делается при помощи решения линейных сравнений, откуда $%x=41$%. Это значит, что корень в данном поле не более чем один.

Для $%x^5-2$% на $%x-41$% по схеме Горнера, получаем разложение на множители: $%x^5-2=(x-41)(x^4+41x^3+6x^2+45x+36)$%, откуда следует, что $%41$% действительно является корнем. При этом он не будет кратным корнем, так как не является корнем производной многочлена, равной $%5x^4$%. Отсюда следует, что многочлен 4-й степени в основном поле корней не имеет.

Если он приводим над $%\mathbb F_{67}$%, то является произведением двух многочленов второй степени. Тогда в некотором квадратичном расширении основного поля уравнение $%x^5=2$% имеет дополнительные корни. Тогда частное двух различных корней даст нетривиальное решение уравнения $%x^5=1$%, чего быть не может. Действительно, порядок мультипликативной группы квадратичного расширения равен $%67^2-1$%, что взаимно просто с числом 5. Значит, в группе нет элементов порядка 5, что приводит к противоречию. Таким образом, степени неприводимых многочленов в разложении равны $%1$% и $%4$%.

2) Многочлен $%x^{28}-1$% делится на $%x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$%, и здесь все три сомножителя неприводимы над полем из трёх элементов. Заметим также, что многочлен $%x^{28}-1$% взаимно прост со своей производной, равной $%28x^{27}=x^{27}$%, и потому не имеет ни кратных корней, ни вообще кратных неприводимых множителей.

Рассмотрим квадратичное расширение поля $%\mathbb F_3$%. Мультипликативная группа имеет порядок 8, то есть $%x^8=1$% для любого элемента этой группы. Если в разложении на неприводимые сомножители есть неприводимый многочлен степени 2, то любой его корень задаёт расширение основного поля степени 2, и при этом $%x^{28}=1$%. Как следствие, получается $%x^4=1$%, а корни и множители этого многочлена нами учтены. Отсюда следует, что неприводимых многочленов степени 1 и 2 в разложении имеется соответственно два и один.

Рассматривая расширения основного поля степени $%n=3,4,5$%, мы видим, что НОД$%(3^n-1,28)$% принимает значения 2, 4, 2 соответственно. Отсюда следует, что если бы неприводимые множители этих степеней в разложении присутствовали, то их корни задавали бы расширения такой же степени, и тогда они удовлетворяли бы равенству $%x^4=1$%, которое нами уже учтено.

С другой стороны, $%3^6-1$% делится на $%3^3+1=28$%, и мультипликативная группа расширения степени 6, будучи циклической, содержит подгруппу порядка 28. Тогда многочлен $%x^{28}-1$% разлагается в таком поле на линейные множители. Всякий корень этого многочлена является корнем многочлена над основным полем степени не более 6, так как размерность расширения равна 6, и элементы $%1$%, $%x$%, ... , $%x^6$% линейно зависимы над $%\mathbb F_3$%. Это значит, что $%x^{28}-1$% делится над $%\mathbb F_3$% на минимальный многочлен всякого такого корня. Степень последнего не больше 6, но и не меньше, так как он неприводим над основным полем. Значит, в разложении многочлена $%\frac{x^{28}-1}{x^4-1}$%, имеющего степень 24, присутствуют 4 неприводимых многочлена степени 6.

Итог: степени неприводимых сомножителей в разложении $%x^{28}-1$% равны 1, 1, 2, 6, 6, 6, 6.

ссылка

отвечен 15 Май '15 3:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×555
×490

задан
14 Май '15 21:21

показан
1243 раза

обновлен
15 Май '15 3:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru