Сумма первых, вторых и третьих степеней трех чисел равна соответственно 1, 2, 6. Как найти сумму четвертых степеней? Подскажите.

задан 15 Май '15 2:21

изменен 15 Май '15 10:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x_1$%, $%x_2$%, $%x_3$% -- данные числа. Тогда $%s_1=x_1+x_2+x_3=1$% и $%2=x_1^2+x_2^2+x_3^2=s_1^2-2s_2$%, откуда $%s_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-\frac12$%. Далее, имеет место тождество $%x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3$%, из которого $%6=s_1^3-3s_1s_2+3s_3=1+\frac32-3s_3$%, то есть $%s_3=-\frac76$%. По теореме Виета, числа $%x_1$%, $%x_2$%, $%x_3$% являются корнями многочлена $%x^3-x^2-\frac12x-\frac76$%.

Теперь, с учётом того, что $%x^4=x^3+\frac12x^2+\frac76x$% для каждого из корней, производим суммирование и получаем, что сумма четвёртых степеней равна $%6+\frac12\cdot2+\frac76\cdot1=\frac{49}6$%.

ссылка

отвечен 15 Май '15 2:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,701
×281

задан
15 Май '15 2:21

показан
244 раза

обновлен
15 Май '15 2:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru