Интересная задача!

Нужно найти наименьшее значение выражения $%y/x$%, если известно, что $%x^2-10x+y^2-2y+1=0$%

Я решил эту задачу с помощью теоремы Ферма (выразил y через x, нашел производную, приравнял к нулю и нашел экстремумы функции), но ответ получился неправильный. Подскажите, как эту задачу решить?

задан 15 Июн '12 19:47

изменен 16 Июн '12 12:34

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Допустим $%\frac{y}{x}=k\Rightarrow y=kx.$% Данное уравнение примет вид

$%(1+k^2)x^2-2(5+k)x+1=0 $%. Последное квадратичное уравнение имеет решений если $%D/4=(5+k)^2-(1+k^2)\ge0\Leftrightarrow 10k+24\ge0 \Leftrightarrow k\ge-2,4.$% Наименьшее значение $%k$% будет $%-2,4$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '12 22:47

Пожалуй, это самое хорошее решение для школьника.

(16 Июн '12 0:25) DocentI

ваааще тема! спасибо...

(17 Июн '12 10:18) Евгений536
10|600 символов нужно символов осталось
1

На втором курсе эту задачу решают как задачу условного экстремума, например, с помощью множителей Лагранжа.
Но можно решить и геометрически. Условие на переменные представляет собой окружность, а отношение y/x - угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат. Наименьшим он будет у одной из касательных, проведенных из (0; 0).

ссылка

отвечен 15 Июн '12 20:02

изменен 15 Июн '12 20:05

вот насчет касательных можно по подробней! я думал насчет этого, а почему наименьшим то будет если из точки (0,0) провести касательную?

(15 Июн '12 20:25) Евгений536

P.S. я в 10 классе , множители Лагранжа не знаю!

(15 Июн '12 20:27) Евгений536

Когда мы уменьшаем отношение k = y/x, прямая поворачивается по часовой стрелке. В конце концов она "отрывается" от окружности в момент касания, после чего на ней не оказывается точек, удовлетворяющих условию.

(16 Июн '12 0:31) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Пусть точка M(x0;y0), тогда

alt text

Опечатка: вместо -12/5 нужно записать -12/13.

ссылка

отвечен 15 Июн '12 20:37

изменен 16 Июн '12 13:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480
×338
×70

задан
15 Июн '12 19:47

показан
1633 раза

обновлен
17 Июн '12 10:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru