алгебра - Отношение порядка

Здесь надо проверить свойства из определения. Это рефлексивность, антисимметричность и транзитивность. Проверки будут проще, если мы обозначим $%ax+b$% через $%f(x)$%. Дело в том, что те же свойства будут верны для любых функций, а не только для частного случая линейных многочленов.

Вот как проверяется, например, транзитивность. Предположим, что $%f_1\preceq f_2$% и $%f_2\preceq f_3$%. Тогда $%f_1(c_i)\le f_2(c_i)\le f_3(c_i)$% при $%i=1,2$%, и в силу свойств обычных неравенств мы делаем вывод, что $%f_1\preceq f_3$%. Два других свойства проверяются аналогично.

Таким образом, $%R$% есть отношение нестрогого частичного порядка, по определению. Я везде вместо $%R$% пишу $%\preceq$%. Осталось показать, что порядок не является линейным, то есть могут быть не сравнимые между собой двучлены. Для этого достаточно, чтобы в точке $%c_1$% значение первого трёхчлена было меньше, а в точке $%c_2$% оно было больше. Пусть для примера $%c_1=0$%, $%c_2=1$%. Рассмотрим двучлены $%f_1(x)=2x-1$% и $%f_2(x)=1-2x$%. Понятно, что $%f_1(c_1)=f_1(0)=-1 < 1 = f_2(0)=f_2(c_1)$%, а также $%f_1(c_2)=f_1(1)=1 > -1 = f_2(1)=f_2(c_1)$%, поэтому ни $%f_1\preceq f_2$%, ни $%f_2\preceq f_1$% не выполнено (требуется "доминирование" одного над другим в каждой из двух точек, а этого нет). Легко построить аналогичный пример для случая произвольных $%c_1\ne c_2$%.