Из $%26$% последовательных нечётных чисел $%1, 3, 5, ..., 51$% выбрали $%11$% различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $%A$% - шестое по величине среди этих чисел, а $%B$% - среднее арифметическое выбранных чисел одиннадцати чисел.

а) Может ли $%B - A$% равняться $% \frac{3}{11}$%?

б) Может ли $%B - A$% равняться $% \frac{4}{11}$%?

в) Найдите наибольшее возможное значение $%B - A$%

задан 16 Май '15 15:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Если $%B-A=\frac3{11}$%, то $%S=11A+3$%, где $%S$% -- сумма выбранных 11 чисел. По условию, все числа нечётны, включая $%A$%, и $%S$% как сумма нечётного числа нечётных слагаемых оказывается нечётна. Отсюда получается противоречие между чётностью левой и правой части.

б) Приведём пример: 1, 3, 5, ... , 17, 19, 25. Сумма равна 125, среднее равно $%B=\frac{125}{11}$%, шестое число равно $%A=11$%. Разность $%B-A$% равна $%\frac4{11}$%.

в) При фиксированном $%A$% максимальное значение суммы предыдущих пяти чисел равно $%(A-10)+(A-8)+\cdots+(A-2)=5A-30$%, а максимальное суммы пяти последующих равно $%43+45+47+49+51=235$%. Сумма всех чисел не больше $%6A+205$%, то есть $%B\le\frac{6A}{11}+\frac{205}{11}$%. Тем самым, $%B-A\le\frac{205}{11}-\frac{5A}{11}\le\frac{150}{11}$%, поскольку $%A\ge11$%. Пример, когда указанное значение достигается, состоит из шести наименьших и пяти наибольших чисел списка.

ссылка

отвечен 16 Май '15 16:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,079

задан
16 Май '15 15:52

показан
1233 раза

обновлен
16 Май '15 16:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru