Найдите порядок группы обратимых линейных преобразований векторного пространства размерности 5 над полем $%GF(2)$% (какие критерии обратимости линейных преобразований вы знаете?).

задан 16 Май '15 18:33

изменен 17 Май '15 10:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Один из критериев обратимости матрицы таков: строки матрицы линейно независимы. Поэтому надо подсчитать, сколько имеется линейно независимых систем векторов вида $%v_1$%, ... , $%v_n$%, где векторы $%v_i$% принадлежат $%\{0,1\}^n$% при $%n=5$%.

Всего векторов имеется $%2^5=32$%. В качестве первого вектора линейно независимой системы годится любой ненулевой вектор, и он может быть выбран $%2^5-1=31$% способом.

Второй вектор не должен быть пропорционален первому. Ясно, что у ненулевого вектора $%v_1$% есть только два вектора, пропорциональных ему: это $%0$% и $%v_1$%. Их брать нельзя, а всё остальное можно. Это даёт $%2^5-2=30$% способов для выбора вектора $%v_2$%.

Теперь, когда векторы $%v_1$% и $%v_2$% выбраны, в качестве $%v_3$% подходит любой из векторов, который не выражается линейно через $%v_1$%, $%v_2$%. Нетрудно заметить, что выразить можно ровно 4 вектора: они имеют вид $%av_1+bv_2$%, где $%a,b\in\{0,1\}^5$%. Все они попарно различны ввиду линейной независимости системы. Таким образом, на роль третьего вектора подходит $%2^5-2^2=28$% векторов.

Рассуждая аналогично, на 4-м шаге получим $%2^5-2^3=24$% возможности, а на 5-м шаге $%2^5-2^4=16$% возможностей для выбора вектора $%v_5$%. Итого по правилу произведения это даст $%(2^5-2^0)(2^5-2^1)(2^5-2^2)(2^5-2^3)(2^5-2^4)=31\cdot30\cdot28\cdot24\cdot16=9999360$% способов. Это и есть порядок группы невырожденных матриц 5-го порядка над полем из двух элементов.

ссылка

отвечен 16 Май '15 20:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,512
×1,258
×555

задан
16 Май '15 18:33

показан
856 раз

обновлен
17 Май '15 10:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru