Требуется изготовить открытый бак цилиндрической формы данного объема $%V=4π$%. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление станки бака равна 1 руб., а на изготовления дна – 4 рубля. Методом множителей Лагранжа определите радиус основания и высоту бака так, чтобы затраты на покупку материала, идущего на изготовление бака, были наименьшими.

задан 17 Май '15 13:12

изменен 18 Май '15 20:47

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

По условию $$\pi R^2H=4\pi$$ Ищем минимум функции $$1\cdot2\pi RH+4\cdot\pi R^2$$ Примеры - http://math1.ru/education/funct_sev_var/lagranj.html

(17 Май '15 13:37) EdwardTurJ

Обозначив $%φ(R,H)=πR^2 H-4π$% составим функцию Лагранжа: $%F(R,H)=1 \cdot 2πRH+4πR^2+(πR^2 H-4π)$% Так нужно составить?

(18 Май '15 5:12) pavel87

Обозначив $%φ(x,y)=πx^2 y-4π$% составим функцию Лагранжа: $$F(x,y)=1 \cdot 2xy+4x^2+(x^2 y-4) \ \frac {dF}{dx}=(1 \cdot 2xy+4x^2+(x^2 y-4)){x'}=2y+8x+2xy$$ $$\frac {dF}{dy}=(1 \cdot 2xy+4x^2+(x^2 y-4)){y'}=2x+x^2$$ $$\begin{cases} 2y+8x+2xy=0, \ 2x+x^2=0, \ x^2y-4=0 \end{cases}$$ Решив систему, получим: $$\begin{cases} x=1, \ y=4, \ \lambda=-2 \end{cases}$$ Имеем одну стационарную точку: $%M_1 (1;4)$%.
Выясним характер экстремума в стационарной точке с использованием определителя $%H$%. $$H=6x^4 y \lambda -8x^4+8x^3 y$$ Проверьте, пожалуйста, ход решения правильный или нет.

(18 Май '15 5:50) pavel87

@pavel87: Ответ правильный.

(18 Май '15 10:33) EdwardTurJ

Спасибо большое за подсказку.

(18 Май '15 11:10) pavel87
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,053

задан
17 Май '15 13:12

показан
550 раз

обновлен
18 Май '15 11:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru