Доказать, что многочлен 4-й степени $%x^4+ax^3+bx^2+cx+d$% с целыми коэффициентами неприводим над $%Q$%, если он не имеет целых корней и не делится ни на один из полиномов вида $%x^2+(\frac {cm-am^2}{d-m^2})x+m$%, где $%m$% - делитель числа $%d$%.

Полиномы с дробными коэффициентами можно не принимать во внимание. Исключение могут представлять полиномы, коэффициенты которых удовлетворяют условиям: $%d=k^2$%, $%c=ak$%.

задан 17 Май '15 15:34

изменен 18 Май '15 8:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если многочлен 4-й степени приводим над $%\mathbb Q$%, то он либо имеет рациональный корень, либо представляется в виде произведения двух многочленов 2-й степени с рациональными коэффициентами.

Известно, что все рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами, если они есть, обладают следующим свойством: у их записи в виде несократимой дроби, числитель делит свободный член, а знаменатель делит старший член. Поэтому, если старший член равен единице, все рациональные корни являются целыми. В данном случае, целых корней нет по условию.

Рассмотрим второй случай. Здесь многочлен из условия равен произведению двух квадратных трёхчленов с рациональными коэффициентами. Известен такой факт: если у исходного многочлена коэффициенты целые, то при этих условиях он будет равен произведению двух многочленов с целыми коэффициентами. Это утверждение не совсем тривиальное -- оно выводится из леммы Гаусса и излагается в вузовских учебниках по алгебре. Я так понимаю, в данной задаче не требуется вникать во все эти детали, так как сказано, что дробные коэффициенты во внимание не принимаются.

Таким образом, можно считать, что $%x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+m)(x^2+qx+d/m)$% для некоторых целых $%p$%, $%q$%, где $%m$% делит $%d$%. Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при третьих степенях: $%p+q=a$%. Сравнение коэффициентов при первых степенях даёт $%pd/m+qm=c$%. Умножим первое уравнение на $%m^2$%, а второе на $%m$%. Получится $%pm^2+qm^2=am^2$% и $%pd+qm^2=cm$%. Вычитая одно из другого, имеем $%cm-am^2=p(d-m^2)$%. Если $%d$% не является квадратом, это даёт $%p=\frac{cm-am^2}{d-m^2}$%. Это и есть коэффициент при $%x$% у квадратного трёхчлена из условия.

Если же $%d=m^2$%, то $%c=am$% из левой части уравнения, и это случай, оговорённый в последнем абзаце условия.

ссылка

отвечен 17 Май '15 16:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×334
×30

задан
17 Май '15 15:34

показан
642 раза

обновлен
17 Май '15 16:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru