высшая-алгебра - Доказать, что многочлен 4-й степени с целыми коэффициентами неприводим над Q

Если многочлен 4-й степени приводим над $%\mathbb Q$%, то он либо имеет рациональный корень, либо представляется в виде произведения двух многочленов 2-й степени с рациональными коэффициентами.

Известно, что все рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами, если они есть, обладают следующим свойством: у их записи в виде несократимой дроби, числитель делит свободный член, а знаменатель делит старший член. Поэтому, если старший член равен единице, все рациональные корни являются целыми. В данном случае, целых корней нет по условию.

Рассмотрим второй случай. Здесь многочлен из условия равен произведению двух квадратных трёхчленов с рациональными коэффициентами. Известен такой факт: если у исходного многочлена коэффициенты целые, то при этих условиях он будет равен произведению двух многочленов с целыми коэффициентами. Это утверждение не совсем тривиальное -- оно выводится из леммы Гаусса и излагается в вузовских учебниках по алгебре. Я так понимаю, в данной задаче не требуется вникать во все эти детали, так как сказано, что дробные коэффициенты во внимание не принимаются.

Таким образом, можно считать, что $%x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+m)(x^2+qx+d/m)$% для некоторых целых $%p$%, $%q$%, где $%m$% делит $%d$%. Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при третьих степенях: $%p+q=a$%. Сравнение коэффициентов при первых степенях даёт $%pd/m+qm=c$%. Умножим первое уравнение на $%m^2$%, а второе на $%m$%. Получится $%pm^2+qm^2=am^2$% и $%pd+qm^2=cm$%. Вычитая одно из другого, имеем $%cm-am^2=p(d-m^2)$%. Если $%d$% не является квадратом, это даёт $%p=\frac{cm-am^2}{d-m^2}$%. Это и есть коэффициент при $%x$% у квадратного трёхчлена из условия.

Если же $%d=m^2$%, то $%c=am$% из левой части уравнения, и это случай, оговорённый в последнем абзаце условия.