$$x^{2}+ y^{2} + z^{2} = a^{2}$$ $$x^{2}+ y^{2} = ax$$ Не могу найти площадь пересечения, чтобы посчитать по формуле $$\int S(z)dz$$

задан 17 Май '15 16:08

изменен 17 Май '15 21:09

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Площадь пересечения здесь не требуется находить. Область интегрирования -- это круг, граница которого задана вторым уравнением. Пределы интегрирования по $%z$% -- это $%\pm\sqrt{a^2-x^2-y^2}$%. Дальше удобно перейти к полярным координатам и найти интеграл от функции по двумерной области, которая легко параметризуется.

(17 Май '15 16:13) falcao

@falcao: Перед заданием дана именно формула с площадью. Я так понимаю, что нужно подставить площадь сечения второй поверхности и интегрировать по пределам, задаваемым первой? Как примерно это будет выглядеть, я впервые подобное делаю.

(17 Май '15 16:23) vlad_ivanov

@falcao: хотя, наверно, все-таки через полярные надо.

(17 Май '15 16:35) vlad_ivanov
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если требуется решать через площади сечений, то поступаем так. Рисуем в плоскости $%Oxy$% два круга. Один из них является постоянным: его центр находится в точке $%(a/2,0)$%, а радиус равен $%a/2$%. Окружность при этом проходит через начало координат. Второй круг является переменным: его центр находится в начале координат, а радиус равен $%\sqrt{a^2-z^2}$%. Здесь $%z\in[-a,a]$%, поэтому радиус принимает значения от $%0$% до $%a$%, причём дважды, то есть можно считать, что $%z\in[0,a]$%, умножая результат на 2.

Пересечение кругов образует "луночку" (достаточно нарисовать какой-то "типовой" круг для промежуточного значения $%z$%). Площадь такой фигуры можно вычислить как при помощи интегралов, так и сводя задачу к нахождению площадей секторов и/или сегментов. Проще всего, мне кажется, находить площадь дополнительной части постоянного круга. Там границы для радиуса и для угла легко определяются, поэтому вычисления удобно производить в полярных координатах.

ссылка

отвечен 17 Май '15 16:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,615
×1,045
×100

задан
17 Май '15 16:08

показан
755 раз

обновлен
17 Май '15 16:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru