Методом разложения на множители значений полинома при целых значениях переменной разложить полиномы на множители или доказать их неприводимость:

  1. $$x^4-3x^2+1 = (x^2-x-1)(x^2+x-1)$$
  2. $$x^4+3x^3-2x^2-2x+1$$

Пользуясь предыдущей задачей, разложить полиномы на множители или доказать их неприводимость над Q:

$$x^4-3x^3+2x^2+3x-9$$

$$x^4-3x^3+2x^2+2x-6$$

$$x^4+4x^3-6x^2-23x-12$$

задан 17 Май '15 18:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

Отсутствие целых (а потому и рациональных, так как старшие коэффициенты равны 1) корней легко проверяется с использованием схемы Горнера. Для проверки существования разложения на квадратичные множители применяем результат предыдущей задачи.

Для каждого из случаев перебираем целочисленные делители $%m$% свободного члена $%d$%, и проверяем, когда $%cm-am^2$% кратно $%d-m^2$%. В первом примере возникает случай $%d=m^2=1$%, но при этом $%m(c-am)$% не равно нулю. Поэтому многочлен $%x^4+3x^2-2x^2-2x+1$% неприводим над $%\mathbb Q$%.

Для многочлена $%x^4-3x^3+2x^2+3x-9$% среди значений дробей $%\frac{m(c-am)}{d-m^2}$% встречаются целочисленные: $%\{0, -1, -2, -3, -3/5, -12/5\}$%. Далее можно непосредственно проверить делимость многочлена на $%x^2+px+m$%, где $%p$% -- целочисленное значение дроби, соответствующее $%m$%. Здесь получается разложение $%(x^2-x-3)(x^2-2x+3)$%.

Для многочлена $%x^4-3x^3+2x^2+2x-6$% все значения получаются дробные: $%\{-5/7, -1/7, -8/5, -4/5, -11/5, -7/5, -20/7, -16/7\}$%, поэтому он неприводим.

В последнем случае возникает два целочисленных значения дробей: $%-1$% и $%5$%. Исходя из этого, нетрудно найти разложение $%x^4+4x^3-6x^2-23x-12=(x^2+5x+3)(x^2-x-4)$%.

ссылка

отвечен 17 Май '15 19:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310
×308

задан
17 Май '15 18:00

показан
612 раз

обновлен
17 Май '15 19:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru