2
1

Найти наибольший порядок элемента мультипликативной группы кольца вычетов $%\mathbb Z_{72}$%.

задан 17 Май '15 23:35

10|600 символов нужно символов осталось
4

Если число имеет каноническое разложение $%n=p_1^{k_1}\ldots p_r^{k_r}$%, то группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю $%n$% изоморфна прямому произведению соответствующих групп для сомножителей: $$\mathbb Z_n^{\ast}\cong\mathbb Z_{p_1^{k_1}}^{\ast}\times\cdots\times\mathbb Z_{p_r^{k_r}}^{\ast}.$$ Доказывается это при помощи китайской теоремы об остатках, и согласуется со свойством мультипликативности функции Эйлера: $%\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1})\ldots\varphi(p_r^{k_r})$%.

Применительно к данному случаю, $%|\mathbb Z_{72}^{\ast}|=\varphi(2^3)\varphi(3^2)=4\cdot6=24$%, где $%|\mathbb Z_8^{\ast}|=4$% и $%|\mathbb Z_9^{\ast}|=6$%. Группа $%\mathbb Z_8^{\ast}=\{1,3,5,7\}$% устроена совсем просто: каждый её элемент в квадрате равен единичному, так как $%k^2-1$% делится на $%8$% при любом нечётном $%k$%. Эта группа изоморфна произведению двух циклических групп второго порядка.

Группа $%\mathbb Z_9^{\ast}=\{1,2,4,5,7,8\}$% является циклической. Чтобы не привлекать общий факт, верный для всех степеней нечётных простых чисел, просто укажем на один из образующих. Подходит число $%2$%, так как $%2^2=4\ne1$% и $%2^3=8\ne1$% по модулю $%9$%, то есть это элемент порядка $%6$%.

Ввиду того, что порядок элемента $%(a,b)$% прямого произведения равен НОК порядков $%a$% и $%b$%, мы заключаем, что $%g^6=1$% для всех $%g\in\mathbb Z_{72}$%, и максимальный порядок элемента равен $%6$%. В качестве примера подходит число, дающее при делении на $%9$% остаток $%2$%, а при делении на $%8$% -- нечётный остаток. Достаточно взять элемент $%g=11$%. Вообще, элементов с таким свойством в группе всего восемь, и их нетрудно выписать в явном виде.

ссылка

отвечен 18 Май '15 0:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×749
×332

задан
17 Май '15 23:35

показан
1728 раз

обновлен
18 Май '15 8:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru