теория-чисел - Сумма цифр

Количество цифр $%4444^{4444}$% не превосходит количеству цифр $%10000^{4444},$% то есть $% 17777 $%, значит $% S(4444^{4444})\le 17777*9= 159993 \Rightarrow$%

$%\Rightarrow S(S(4444^{4444}))\le (9+9+9+9+9)=45 \Rightarrow S(S(S(4444^{4444})))\le (3+9)=12$%. Поскольку остаток при делении числа на 9 равен остатку при делении на 9 суммы цифр этого числа,то $% 4444^{4444} \equiv S(4444^{4444})(mod 9)\equiv S(S(4444^{4444}))(mod 9)\equiv S(S(S(4444^{4444})))(mod 9)$%.Но $% 4444\equiv7(mod9)\Rightarrow 4444^{4444}\equiv7^{4444}(mod9)$%.

Не трудно убедится, что $% 7^{4k}=7(mod 9)(k\in N)$%. Значит $% S(S(S(4444^{4444})))=7(mod 9) $%. Так как $%S(S(S(4444^{4444})))\le 12, $%то однозначно $% S(S(S(4444^{4444}))=7 $%.