Исследуйте, можно ли тремя хордами, каждая из которых не является диаметром, разбить круг на несколько равных по площади частей.

задан 18 Май '15 20:10

изменен 1 Ноя '15 11:47

Под разными здесь понимаются хорды попарно различной длины?

(18 Май '15 20:15) falcao

Я думаю, что да!

Я забыл вначале еще дописать написать, что диаметры брать нельзя. Теперь подредактировал

(18 Май '15 20:20) Роман83

Несложно показать, что все хорды должны разбить круг на семь частей. Тогда все хорды должны быть одной длины. Но и такая конфигурация мне кажется невозможной. Пробовал через какие-то неравенства, но пока не получилось.

(21 Май '15 18:31) EdwardTurJ
1

Задача с действующей олимпиады - https://dl.dropboxusercontent.com/u/15765938/TYM/2015/TYM-2015-PROBLEMS.pdf (до 1 ноября 2015 года) !

(22 Май '15 10:58) EdwardTurJ

Я задачу брал с другого источника. Это легко проверить так как я задал задачу на этом сайте 18 мая, а появилась она как задача с действующей олимпиады 20-го мая. Решение обсудим тогда после 1-го ноября 2015-го, а пока нужно вопрос закрыть?

(22 Май '15 16:32) Роман83

@Роман83: Соглвсен, закрываем до ноября.

(22 Май '15 22:23) EdwardTurJ
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пускай хорда $%AB$% (рисунок в ответе @sliy:) отсекает $%\frac15$% площади круга, а хорды $%AC$% и $%BD$% отсекают по $%\frac25$% площади круга, $%\angle AOC=\angle BOD=\alpha,\angle AOB=\beta,$% тогда $$\frac{2\pi}5 =\frac12(\alpha-\sin\alpha),\alpha\approx2,8248\approx162^\circ,$$ $$\frac{\pi}5 =\frac12(\beta-\sin\beta),\beta\approx2,11314\approx121^\circ,$$ $$S(AEB)=\frac{R^2}22\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\beta}2\tan\left(\frac{\pi}2-\frac{\alpha}2+\frac{\pi}2-\frac{\beta}2\right)=R^2\sin^2\frac{\beta}2\tan\left(\pi-\frac{{\alpha+\beta}}2\right)=$$ $$=-R^2\sin^2\frac{\beta}2\tan\left(\frac{{\alpha+\beta}}2\right)\approx0,60R^2<0,62R^2<\frac{\pi R^2}5.$$ Будем перемещать хорду $%AC$% по часовой стрелке, а хорду $%BD$% против часовой стрелки, не изменяя их длин, симметрично серединному перпендикуляру к хорде $%AB$%, до тех пор, пока хорды $%AC$% и $%BD$% не совпадут. При таком расположении хорд площадь части круга между парой хорд $%AC$% и $%BD$% и хордой $%AB$% равна $%\frac25$% площади круга. Следовательно, согласно теоремы Больцано-Коши, найдётся такое положение хорд $%AC$% и $%BD$%, что круг разбит на $%5$% равновеликих частей.

ссылка

отвечен 1 Ноя '15 11:55

10|600 символов нужно символов осталось
3

@EdwardTurJ: А почему нельзя на пять частей. Например, так:alt text

И осталось только доказать, что каждая часть равна одной пятой

ссылка

отвечен 21 Май '15 23:38

@sliy: так может и не получиться, потому что положение хорды AB задано однозначно, и то же для точки E. Тогда размер остальных частей как бы не в нашей власти. То есть нельзя что-либо проварьировать. Если окажется, что там площади совпадут, это будет выглядеть поистине чудесным везением.

(21 Май '15 23:46) falcao

@sliy: Да, я ошибся. Мне показалось,что в таком случае одна из хорд будет диаметром.

(21 Май '15 23:50) EdwardTurJ

@falcao: А если хорды в точках А и В разъединить, тогда точка Е уже не будет фиксированной?

(22 Май '15 0:05) sliy

@sliy: да, это хорошая идея. Тогда одной "степени свободы" может и хватить, но надо проверить вычислениями, чтобы не оказалось, что там "перекос" всегда в одну и ту же сторону.

(22 Май '15 0:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Под разными хордами скорее всего понимается, что никакие две хорды не совпадают, превращаясь в одну, а их длины могут быть одинаковы. И интуитивно ответ в этом более общем случае будет "нельзя".

ссылка

отвечен 21 Май '15 13:07

Да, вполне возможно, что разные хорды - это те хорды, которые не совпадают при параллельном переносе. Но мне кажется, "интуитивно", что все таки можно :)

(21 Май '15 14:06) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×93

задан
18 Май '15 20:10

показан
1548 раз

обновлен
1 Ноя '15 11:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru