Наткнулась на такое уравнение: $$\cos \left(\pi \cdot \frac {x-422}5 \right)=\sqrt [4] 5 \cdot \frac {\sqrt{\sqrt 5-1}}{2 \sqrt2}$$ Есть сведения, что левая часть равна $%\cos \frac {7\pi}{10}$%, а почему?
И ответ - 0,49. Объясните мне. ((

задан 18 Май '15 20:38

изменен 18 Май '15 21:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Верик, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(19 Май '15 12:25) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Известно, что $%\cos\frac{\pi}5=\frac{\sqrt5+1}4$%. На форуме этот равенство обсуждалось здесь. Из него следует, что $%\sin^2\frac{\pi}5=1-\cos^2\frac{\pi}5=1-\frac{6+2\sqrt5}{16}=\frac{5-\sqrt5}8$%. С учётом того, что угол острый, получается равенство $%\sin\frac{\pi}5=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8}$%, что равно значению правой части уравнения.

Пользуясь тождеством $%\cos\varphi=\sin(\frac{\pi}2-\varphi)$%, представляем число в правой части уравнения в виде $%\cos\frac{3\pi}{10}$%.

Далее, если требуется найти все решения уравнения вида $%\cos\alpha=\cos\beta$%, составляем равенства вида $%\alpha=\pm\beta+2\pi k$%, где $%k$% целое, и получаем одну или несколько бесконечных серий.

В данной задаче, судя по виду ответа, требовалось найти наименьшее положительное решение уравнения. Для этого составим те равенства, о которых выше шла речь, то есть приравняем выражения под знаком косинуса с точностью до знака, и с точностью до целочисленного кратного $%2\pi$%. После сокращения на $%\pi$% и умножения на $%10$% мы получим следующее: $%2(x-422)=\pm3+20k$%, где $%k\in\mathbb Z$%. Выражаем отсюда $%x$% и записываем неравенство: $%x=422\pm\frac32+10k > 0$%. Это значит, что $%k > -42,2\mp\frac3{20}$%, что даёт значения $%-42,35$% и $%-42,05$%. Нас интересует наименьшее $%x$%, а ему соответствует наименьшее $%k$%, удовлетворяющее одному из неравенств. Очевидно, это $%k=-42$%. Чтобы $%x$% было как можно меньше, перед дробью $%\frac32$% надо поставить знак "минус", и получится $%x=422-\frac32+10k=2-\frac32=\frac12$%.

Видимо, ответ 0,49 получился в результате ошибок округления.

ссылка

отвечен 18 Май '15 22:58

Вот теперь понятно!

(19 Май '15 5:13) Верик
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×828
×826

задан
18 Май '15 20:38

показан
452 раза

обновлен
19 Май '15 12:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru