В правильной треугольной призме $%ABCA_1 B_1 C_1$% все ребра основания равны $%2\sqrt{7}$%. Сечение, проходящее через боковое ребро $%AA_1$% и середину $%M$% ребра $%B_1 C_1$%, является квадратом. Найдите расстояние между прямыми $%A_1 B$% и $%AM$%.

задан 18 Май '15 22:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

1) Для равностороннего треуг-ка высота-медиана-биссектриса $%h = a\sqrt{3}/2$%.
То есть $%A_1M = 2\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{21}$%. И т.к. $%AA_1MN$% - квадрат, то и боковое ребро призмы ( оно же - высота) $%h = \sqrt{21}$%.
2) Расстояние между скрещивающимися = расстоянию от одной ( "первой" ) из них до плоскости, проведенной через 2-ую прямую параллельно первой. То есть построим, например, плоскость, проходящую через прямую $%AM$% и параллельную прямой $%A_1B$%.
"Прямая ( $%l$% ) параллельна плоскости ( $%\alpha$% ), если в этой плоскости $%\alpha$% можно указать ( какую-нибудь ) прямую, параллельную данной прямой $%l$%."
То есть чтобы получить плоскость, проходящую через $%AM$% и параллельную $%A_1B$% -- сначала через какую-нибудь точку на прямой $%AM$% ( через точку $%A$% ) проводим прямую, параллельную $%A_1B$%. Очевидно, такая прямая будет в плоскости боковой грани $%AA_1B_1B$%; то есть в этой плоскости грани проводим $%BK = BB_1$%, и получаем параллелограмм $%AA_1BK$% ( в котором $%AK$% || $%A_1B$% ); и плоскость $%AMK$% - "та, которая была нужна". ( На рисунке НЕ строилось сечение призмы такой плоскостью $%AMK$% - но сечение здесь и не нужно.. )
Т.е. ищем расстояние от прямой $%A_1B$% ( от любой ее точки - например, от точки $%A_1$% ) до этой плоскости $%AMK$%

3) Расстояние от т. $%A_1$% до плоскости $%AMK$% - это высота треугольной пирамиды $%A_1AMK$%, проведенная из вершины $%A_1$% к основанию $%AMK$% ( пусть это расстояние $%= x$% ). Объем пирамиды тогда $%V_{A_1AMK} = 1/3\cdot x \cdot S_{AMK}$%, а площадь треуг-ка $%AMK$% можно найти. $%AM = h\cdot \sqrt{2} = \sqrt{42}$%, $%AK = A_1B = \sqrt{21 + 4\cdot 7} = \sqrt{49} = 7$%, и $%MK$% ( из треуг-ка $%MB_1K$% ): $%MK = \sqrt{7 + 4\cdot 21} = \sqrt{91}$%. То есть при таких данных треуг-к $%AMK$% - прямоугольный ( $%AM^2 + AK^2 = 42 + 49 = 91 = MK^2$% ), и его площадь $%S_{AMK} = 1/2\cdot 7\cdot \sqrt{42}$%. Т.е. объем пирамиды $%V_{A_1AMK} = 1/6 \cdot x\cdot 7\sqrt{42}$%

alt text
4) И с другой стороны, объем той же самой пирамиды: $%V_{A_1AMK} = 1/3 \cdot p \cdot S_{AA_1M} $%, где $%p$% - расстояние от вершины $%K$% до основания $%AA_1M$%. Площадь $%S_{AA_1M} = 1/2 \cdot 21$%, а расстояние $%p$% от точки $%K$% до плоскости $%AA_1M$% - такое же, как и от любой другой точки на прямой $%B_1K$% до этой плоскости ( так как $%B_1K$% параллельна пл-ти $%AA_1M$% ), то есть $%p =$% расстоянию от т. $%B$% до сечения $%AA_1MN$%, а это расстояние $%= BN = \sqrt{7}$%. То есть объем пирамиды $%V_{A_1AMK} = 1/3 \cdot \sqrt{7} \cdot 1/2 \cdot 21 = 1/6 \cdot 21\sqrt{7}$%.
То есть $%1/6 \cdot x\cdot 7\sqrt{42} = 1/6 \cdot 21\sqrt{7}$%, откуда $%x = \frac{21\sqrt{7}}{7\sqrt{42}} = \frac {\sqrt{7} \cdot \sqrt{42}}{7\cdot 2} = \frac{\sqrt {6}}{2}$% ( расстояние, которое искали.. )

ссылка

отвечен 19 Май '15 4:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×446

задан
18 Май '15 22:14

показан
512 раз

обновлен
19 Май '15 4:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru