Дано исходное ДУ:

$% \big(xy+ e^{x}\big)dx - xdy = 0$%

Путем преобразований:

$%1)\big(xy+ e^{x}\big)dx=xdy$%

$%2)xy+ e^{x}=xy'$%

$%3)xy'+xy=e^{x}$%

Приходим к такому виду. Далее в решении оно решается как линейное ДУ (т.е. сперва решается соотвествующее однородное). Но вот почему последнее ДУ в преобразованиях линейное? Ведь в книге написано, что линейное имеет вид (точнее, частный случай линейного) $%y'+a(x)y=b(x)$%.

Даже если разделим на $%x$%, то все равно не будет линейного согласно шаблону: $%y'+y=\frac{-e^{x}}{x}$%. Я пробовал тут решать как линейное, но в решении однородного выходит так, что $%C(x)$% не выражается из получившего уравнения.

задан 18 Май '15 22:23

изменен 20 Май '15 0:10

Во-первых в первом преобразовании есть неточность в знаке. А по сути вопроса: $$\frac{-e^x}{x}$$ есть функцией одной переменной, что и обозначается как $$b(x)$$. можете попробовать другой метод решения линейного уравнения (метод Бернулли).

(18 Май '15 22:28) aid78
1

При переходе от первой формулы ко второй не должно возникать минуса в правой части.

Конечно, при делении на $%x$% получится линейное уравнение первого порядка, согласно определению. Причём более простое, чем могло получиться в общем случае. Здесь функция $%a(x)$% постоянна, что облегчает процесс решения. Это относится к случаю линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.

(18 Май '15 22:29) falcao

Теперь ошибка в знаке в 3-й строке.

(18 Май '15 22:33) aid78

Похоже, исправил все ошибки со знаками.

aid78, это я знаю.

falcao, тоже знаю.

Хм. Ну да, линейное. Тогда почему я вообще задал вопрос? Похоже, из-за того, что когда я начал решать $%y'-y=0$%, то у меня вышло $%y=e^{x+C}$%, я не смог выразить $%C$%, и не смог дальше решать по методу вариации. В решении решается по этому методу, и я отсюда подумал, что у меня проблемы с линейностью.

(18 Май '15 22:41) Alex23
1

$$y=e^{x+C}=e^x*e^C=C_1e^x$$

(18 Май '15 22:49) aid78

Хм. Подумал:

$%y=e^{x+C}$%

$%y=e^{x}e^{C}$%, где $%e^{C}=C_{1}$%

$%y=C_{1}e^{x}$%

(18 Май '15 22:50) Alex23
1

Далее по методу вариации: $$ y=C_1(x)e^x$$ $$ C_1'(x)e^x+C_1(x)e^x-C_1(x)e^x=\frac{e^x}{x}$$ $$C_1'(x)e^x=\frac{e^x}{x}$$ $$C_1'(x)=\frac{1}{x}$$

(18 Май '15 22:56) aid78
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - falcao 20 Май '15 0:28

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,005
×872

задан
18 Май '15 22:23

показан
274 раза

обновлен
20 Май '15 0:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru