Доказать, что дзета-функция Римана $%\zeta(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^x}$% непрерывна на множестве $%(1, +\infty)$% и имеет на этом множестве производные любого порядка.

задан 18 Май '15 23:36

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку условия непрерывности и дифференцируемости проверяются для каждой точки $%x_0 > 1$% по отдельности, применим такой стандартный приём. Для фиксированного $%x_0 > 1$% рассмотрим множество $%[\frac{1+x_0}2;+\infty)$%, на котором ряд сходится равномерно, так как он мажорируется сходящимся рядом, не зависящим от переменной $%x$%, сумма которого равна $%\zeta(\frac{1+x_0}2)$%. Заметим, что то множество, которое мы рассмотрели, содержит некоторую открытую окрестность точки $%x_0$%, что нужно для исследования дифференцируемости.

Ввиду равномерной сходимости на подмножестве, а также непрерывности членов ряда, сумма также оказывается непрерывной в точке $%x_0$%. С дифференцируемостью поступаем аналогично, так как ряды можно при этих условиях дифференцировать почленно. Тогда $%k$%-я производная $%n$%-го члена ряда при $%n\ge2$% будет равна $%(-1)^k(\ln n)^kn^{-x}$%.

Остаётся проверить, что все такие ряды сходятся на рассматриваемом подмножестве равномерно и абсолютно. Это следует из того, что логарифм растёт медленнее степенной функции. При фиксированном $%k$% и достаточно большом $%n$% выполняется неравенство $%\ln n < n^{\delta/k}$% для любого заданного положительного $%\delta$%. После применения этого неравенства получится ряд, модули членов которого оцениваются сверху величиной $%n^{\delta}/n^x$%. Достаточно положить $%\delta=\frac{x_0-1}4$%, тогда при $%x\ge\frac{1+x_0}2$% получится $%x-\delta\ge\frac{3+x_0}4 > 1$%, что обеспечивает не зависящую от $%x$% оценку сверху для членов продифференцированных рядов. Получается, что они сходятся равномерно, поэтому их можно почленно дифференцировать в окрестности точки $%x_0$%, и так любое число раз.

ссылка

отвечен 19 Май '15 1:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,048
×849

задан
18 Май '15 23:36

показан
2299 раз

обновлен
19 Май '15 1:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru