Показать, что последовательность $%\{f_n(x)\}$%, где $%f_n(x) = \dfrac{1}{n} \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x^n$%, сходится равномерно на $%\mathbb R$%, но $% \left(\lim\limits_{n \to \infty} f_n\right)^{\prime} (1) \not= \lim\limits_{n \to \infty} f_n'(1) $%

задан 18 Май '15 23:55

изменен 19 Май '15 1:19

falcao's gravatar image


234k3245

10|600 символов нужно символов осталось
1

Равномерная сходимость последовательности к нулю вытекает из того, что арктангенс ограничен, а $%n$% стремится к бесконечности. Поэтому левая часть неравенства равна нулю.

По обычным формулам находим производную: $%f_n'(x)=\frac1n\cdot nx^{n-1}\cdot\frac1{1+x^{2n}}=\frac{x^{n-1}}{1+x^{2n}}$%, откуда $%f_n'(1)=\frac12\ne0$%.

Противоречия с известными теоремами здесь нет, потому что равномерная сходимость нужна для последовательности производных, а здесь её нет.

ссылка

отвечен 19 Май '15 1:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,206
×294

задан
18 Май '15 23:55

показан
331 раз

обновлен
19 Май '15 1:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru