$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

$$u=x^2+2x-y^2, v=2xy+2y, z_0=i;$$

Нужно найти производную f'(z0), Условие Коши-Римана я проверил, а вот как найти производную, понять не могу. Есть формула $%lim ((f(z)-f(z_0))/(z-z_0)) =f'(z0)$%, но что-то я не понимаю, что куда подставлять.

задан 16 Июн '12 20:58

изменен 16 Июн '12 22:50

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Нужно от переменных $%(x,y)$% перейти к переменным $%(z,\bar{z})$%, где $%z=x+i \cdot y$%, $%\bar{z}=x-i \cdot y$%, т.е. $%x=(z+\bar{z})/2$%, $%y=(z-\bar{z})/(2i)$%. Выполнение условий Коши-Римана означает, что зависимости от $%\bar{z}$% не будет. Далее - дифференцирование по $%z$% по обычным формулам.

ссылка

отвечен 16 Июн '12 22:50

То есть нам вместо x и y нужно подставить z и z(штрих)? А зачем нам тогда дано z0 ?

(17 Июн '12 13:55) Игорь Самотюк

После взятия производной вместо $%z$% подставляете$%z_0$% - получится значение производной в точке $%z=z_0$%

(17 Июн '12 13:59) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Подстановка $%z$% и $%\bar{z}$% в данную функцию несколько трудоемко. Выполнение условий Коши-Римана (существование производной) означает, она "одинакова" при стремлении к $% z_0 $% с любого направления. Поэтому можно взять, скажем, "частную производную" по $%x$% и потом подставить $% z_0(x_0=0, y_0=1).$% Производная оказывается равной $%2+2i$%.

ссылка

отвечен 19 Июн '12 4:12

изменен 19 Июн '12 10:10

ASailyan's gravatar image


15.4k728

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предполагаю следующее:

$%(1) \ \begin {cases} \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge z = x + i \cdot y \\ u = u(x,y) \wedge v = v(x,y) \wedge \{u, v\} \subseteq \mathbb{R} \\ \mathrm{D}_x = \frac{\partial}{\partial x} \ \wedge \ \mathrm{D}_y = \frac{\partial}{\partial y} \\ \mathrm{D}_x u(x,y) = \mathrm{D}_y v(x,y) \\ \mathrm{D}_y u(x,y) = - \mathrm{D}_x v(x,y) \end {cases} \ \rightarrow \ u(x,y) + i \cdot v(x,y) = f(x + i \cdot y) = f(z)$%

$%(2) \ \begin {cases} \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge z = x + i \cdot y \\ u(x,y) = x^2 + 2x - y^2 \wedge v(x,y) = 2xy + 2y \\\mathrm{D}_x (x^2 + 2x - y^2) = 2x + 2 = \mathrm{D}_y (2xy + 2y) \\ \mathrm{D}_y (x^2 + 2x - y^2) = -2y = - \mathrm{D}_x (2xy + 2y) \end {cases} \ \rightarrow \ x^2 + 2x - y^2 + i \cdot (2xy + 2y) = f(z)$%

Проверка

$% \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge z = x + i \cdot y \wedge \bar{z} = x - i \cdot y \wedge f = x^2 + 2x - y^2 + i \cdot (2xy + 2y) $%

$% \Rightarrow \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge x = \frac{z + \bar{z}}{2} \wedge y = \frac{z - \bar{z}}{2i} \wedge f = x^2 + 2x - y^2 + i \cdot (2xy + 2y) $%

$% \Rightarrow i^2 = -1 \wedge f = (\frac{z + \bar{z}}{2})^2 + 2(\frac{z + \bar{z}}{2}) - (\frac{z - \bar{z}}{2i})^2 + i \cdot (2(\frac{z + \bar{z}}{2})(\frac{z - \bar{z}}{2i}) + 2(\frac{z - \bar{z}}{2i})) $%

$% \Rightarrow f = \frac{z^2 + \bar{z}^2}{2} + z + \bar{z} + i \cdot (\frac{z^2 - \bar{z}^2}{2i} + \frac{z - \bar{z}}{i}) $%

$% \Rightarrow f = z^2 + 2z = f(z)$%

$%(3) \ z \in \mathbb{C} \wedge f(z) = z^2 + 2z \wedge \mathrm{D}_z = \frac{d}{dz} \rightarrow \mathrm{D}_z f(z) = \mathrm{D}_z(z^2 + 2z) = \mathrm{D}_z(z^2) + \mathrm{D}_z(2z) = 2z + 2$%

$%(3.1) \ \begin {cases} \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge x + i \cdot y = z \in \mathbb{C} \\ f(z) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) \\ u(x,y) = x^2 + 2x - y^2 \\ v(x,y) = 2xy + 2y \end {cases} \rightarrow \begin {cases} \mathrm{D}_z f(z) = \mathrm{D}_x u(x,y) + i \cdot \mathrm{D}_x v(x,y) = \\ = \mathrm{D}_x (x^2 + 2x - y^2) + i \cdot \mathrm{D}_x (2xy + 2y) = \\ = 2x + 2 + i \cdot 2y = 2 + 2(x + i \cdot y) = 2 + 2z \\ \\ \mathrm{D}_z f(z) = \mathrm{D}_y v(x,y) - i \cdot \mathrm{D}_y u(x,y) = \\ = \mathrm{D}_y (2xy + 2y) - i \cdot \mathrm{D}_y (x^2 + 2x - y^2) = \\ = 2x + 2 - i \cdot (-2y) = 2 + 2(x + i \cdot y) = 2 + 2z \end {cases}$%

ссылка

отвечен 19 Июн '12 10:13

изменен 25 Июн '12 15:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×338
×202
×80

задан
16 Июн '12 20:58

показан
1269 раз

обновлен
25 Июн '12 15:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru