|
$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$ $$u=x^2+2x-y^2, v=2xy+2y, z_0=i;$$ Нужно найти производную f'(z0), Условие Коши-Римана я проверил, а вот как найти производную, понять не могу. Есть формула $%lim ((f(z)-f(z_0))/(z-z_0)) =f'(z0)$%, но что-то я не понимаю, что куда подставлять. задан 16 Июн '12 20:58 
Игорь Самотюк |
|
Нужно от переменных $%(x,y)$% перейти к переменным $%(z,\bar{z})$%, где $%z=x+i \cdot y$%, $%\bar{z}=x-i \cdot y$%, т.е. $%x=(z+\bar{z})/2$%, $%y=(z-\bar{z})/(2i)$%. Выполнение условий Коши-Римана означает, что зависимости от $%\bar{z}$% не будет. Далее - дифференцирование по $%z$% по обычным формулам. отвечен 16 Июн '12 22:50 
Андрей Юрьевич То есть нам вместо x и y нужно подставить z и z(штрих)? А зачем нам тогда дано z0 ?
(17 Июн '12 13:55)
Игорь Самотюк
После взятия производной вместо $%z$% подставляете$%z_0$% - получится значение производной в точке $%z=z_0$%
(17 Июн '12 13:59)
Андрей Юрьевич
|
|
Подстановка $%z$% и $%\bar{z}$% в данную функцию несколько трудоемко. Выполнение условий Коши-Римана (существование производной) означает, она "одинакова" при стремлении к $% z_0 $% с любого направления. Поэтому можно взять, скажем, "частную производную" по $%x$% и потом подставить $% z_0(x_0=0, y_0=1).$% Производная оказывается равной $%2+2i$%. отвечен 19 Июн '12 4:12 
andre |
|
Предполагаю следующее: $%(1) \ \begin {cases} \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge z = x + i \cdot y \\ u = u(x,y) \wedge v = v(x,y) \wedge \{u, v\} \subseteq \mathbb{R} \\ \mathrm{D}_x = \frac{\partial}{\partial x} \ \wedge \ \mathrm{D}_y = \frac{\partial}{\partial y} \\ \mathrm{D}_x u(x,y) = \mathrm{D}_y v(x,y) \\ \mathrm{D}_y u(x,y) = - \mathrm{D}_x v(x,y) \end {cases} \ \rightarrow \ u(x,y) + i \cdot v(x,y) = f(x + i \cdot y) = f(z)$% $%(2) \ \begin {cases} \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge z = x + i \cdot y \\ u(x,y) = x^2 + 2x - y^2 \wedge v(x,y) = 2xy + 2y \\\mathrm{D}_x (x^2 + 2x - y^2) = 2x + 2 = \mathrm{D}_y (2xy + 2y) \\ \mathrm{D}_y (x^2 + 2x - y^2) = -2y = - \mathrm{D}_x (2xy + 2y) \end {cases} \ \rightarrow \ x^2 + 2x - y^2 + i \cdot (2xy + 2y) = f(z)$% Проверка $% \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge z = x + i \cdot y \wedge \bar{z} = x - i \cdot y \wedge f = x^2 + 2x - y^2 + i \cdot (2xy + 2y) $% $% \Rightarrow \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge i^2 = -1 \wedge x = \frac{z + \bar{z}}{2} \wedge y = \frac{z - \bar{z}}{2i} \wedge f = x^2 + 2x - y^2 + i \cdot (2xy + 2y) $% $% \Rightarrow i^2 = -1 \wedge f = (\frac{z + \bar{z}}{2})^2 + 2(\frac{z + \bar{z}}{2}) - (\frac{z - \bar{z}}{2i})^2 + i \cdot (2(\frac{z + \bar{z}}{2})(\frac{z - \bar{z}}{2i}) + 2(\frac{z - \bar{z}}{2i})) $% $% \Rightarrow f = \frac{z^2 + \bar{z}^2}{2} + z + \bar{z} + i \cdot (\frac{z^2 - \bar{z}^2}{2i} + \frac{z - \bar{z}}{i}) $% $% \Rightarrow f = z^2 + 2z = f(z)$% $%(3) \ z \in \mathbb{C} \wedge f(z) = z^2 + 2z \wedge \mathrm{D}_z = \frac{d}{dz} \rightarrow \mathrm{D}_z f(z) = \mathrm{D}_z(z^2 + 2z) = \mathrm{D}_z(z^2) + \mathrm{D}_z(2z) = 2z + 2$% $%(3.1) \ \begin {cases} \{x, y\} \subseteq \mathbb{R} \wedge x + i \cdot y = z \in \mathbb{C} \\ f(z) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) \\ u(x,y) = x^2 + 2x - y^2 \\ v(x,y) = 2xy + 2y \end {cases} \rightarrow \begin {cases} \mathrm{D}_z f(z) = \mathrm{D}_x u(x,y) + i \cdot \mathrm{D}_x v(x,y) = \\ = \mathrm{D}_x (x^2 + 2x - y^2) + i \cdot \mathrm{D}_x (2xy + 2y) = \\ = 2x + 2 + i \cdot 2y = 2 + 2(x + i \cdot y) = 2 + 2z \\ \\ \mathrm{D}_z f(z) = \mathrm{D}_y v(x,y) - i \cdot \mathrm{D}_y u(x,y) = \\ = \mathrm{D}_y (2xy + 2y) - i \cdot \mathrm{D}_y (x^2 + 2x - y^2) = \\ = 2x + 2 - i \cdot (-2y) = 2 + 2(x + i \cdot y) = 2 + 2z \end {cases}$% отвечен 19 Июн '12 10:13 
Галактион |