alt text

задан 19 Май '15 3:06

изменен 19 Май '15 12:21

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Подгруппа диагональных матриц в $%GL_3(\mathbb R)$% изоморфна прямому произведению $%\mathbb R^{\ast}\times\mathbb R^{\ast}\times\mathbb R^{\ast}$%, где $%\mathbb R^{\ast}=\mathbb R\setminus\{0\}$% -- группа ненулевых действительных чисел относительно умножения. Для удобства записи, будем вместо столбцов из $%\mathbb R^3$% использовать строки. Тогда правило действия группы на множестве задаётся простым правилом $%(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\cdot(x_1,x_2,x_3)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\lambda_3x_3)$%, где $%\lambda_i\ne0$% при всех $%i$%.

Рассмотрим произвольный элемент $%(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3$%. Если $%x_i=0$%, то $%\lambda_ix_i=0$%, то есть на $%i$%-м месте останется ноль. Если $%x_i\ne0$%, то $%\lambda_ix_i\ne0$%, причём для любого $%y_i\ne0$% найдётся такое $%\lambda_i$%, для которого $%\lambda_ix_i=y_i$%, то есть на $%i$%-м месте может оказаться любое ненулевое число. Это значит, что орбита элемента $%(x_1,x_2,x_3)$% будет равна декартову произведению $%M_1\times M_2\times M_3$%, где $%M_i=\{0\}$% при $%x_i=0$% и $%M_i=\mathbb R^{\ast}$% при $%x_i\ne0$%.

Теперь опишем стабилизатор того же элемента. По определению, он состоит из троек вида $%(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$%, для которых $%\lambda_ix_i=x_i$% при всех $%1\le i\le3$%. Ясно, что если $%x_i\ne0$%, то $%\lambda_i=1$%, а если $%x_i=0$%, то равенство верно при любом $%\lambda_i\ne0$%. Тем самым, стабилизатор элемента $%(x_1,x_2,x_3)$% равен декартову (прямому) произведению вида $%G_1\times G_2\times G_3$%, где $%G_i=\{1\}$% для $%x_i\ne0$% и $%G_i=\mathbb R^{\ast}$% при $%x_i=0$%.

ссылка

отвечен 19 Май '15 3:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750

задан
19 Май '15 3:06

показан
600 раз

обновлен
19 Май '15 12:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru