В учебники рассматривается такой пример помогите разобрать с разложение интеграла, не могу понять почем получается $%1$% и $%-6$% в числителях

$%\int \frac{x^2+22}{(x-2)(x^2+6x+10)}=\int(\frac{1}{x-2}-\frac{6}{x^2+6x+10})dx =-6\int \frac{1}{x^2+6x+10}dx+ \int \frac{1}{x-2}dx=-6\int \frac{1}{(x+3)^2+1}dx+ \int \frac{1}{x-2}dx$%

Применим интегрирование по частям дважды: $%1)-6\int \frac{1}{(x+3)^2+1}dx=|U=x+3, dU=dx|=-6\int \frac{1}{U^2+1}=-6 arctg(U)=-6arctg(x+3)$%

$%2)\int \frac{1}{x-2}dx=|U=x-2, dU=dx|=\int \frac{1}{U}dU=ln(U)=ln(x-2)+C$%

Подставим в исходный интеграл: $%\int \frac{x^2+22}{(x-2)(x^2+6x+10)}=ln(x-2)-6arctg(x+3)$%

задан 19 Май '15 11:02

@s1mka, в учебнике "применили приём" под названием "очевидно" ( в учебниках такой приём любят =)). Если привести к общему знаменателю $%\frac{1}{x-2} + frac{-6}{x^2 + 6x +10}$% - то как раз исходная дробь и получится. Здесь и правда почти очевидно. В числителе должно получиться $%x^2 + 22$%, т.е. один $%x^2$% сохраняется, т.е. в дроби $%\frac{A}{x-2}$% ( которая будет умножаться на $%(x^2 + 6x +10)$% ) поставим в числителе $%A=1$%. Тогда при умножении ее на $%(x^2 + 6x + 10)$% "вылезут" $%6x$% ( которых в выражении $%(x^2 + 22)$% нет ).

(19 Май '15 12:20) ЛисаА

Поэтому в дроби $%\frac{(что-то)}{x^2 +6x + 10}$% поставим в числителе $%(-6)$% ( чтобы "уходили" $%6x$% и $%(-6x)$% ), и проверяем: $%1\cdot ( x^2 + 6x + 10 ) - 6\cdot (x-2) = x^2 + 6x + 10 - 6x + 12 = x^2 + 22 $% -- "ура, сходится". =)
А вообще, могли бы полностью записать разложение дроби ( правила разложения точно должны быть и в учебнике, и в инете где-нибудь )
$% \frac{x^2 + 22}{x^2 + 6x + 10} = \frac{A}{(x-2)} + \frac{Bx + C}{x^2 + 6x + 10} $%, то есть справа при приведении к общему знаменателю получаем в числителе:

(19 Май '15 12:21) ЛисаА

$%A\cdot ( x^2 + 6x + 10 ) + ( Bx + C )\cdot ( x - 2)$% -- и это приравниваем к $%(x^2 + 22)$%. Потом приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях $%x$%, и получаем систему из 3-х уравнений для переменных $%A$%, $%B$% и $%C$%, решая ее, находим $%A = 1$%, $%B = 0$% и $%C = - 6$% )

(19 Май '15 12:21) ЛисаА
1

Да, и там нигде не было потом "интегрирования по частям". Там дважды применялось подведение под знак дифференциала (можно его же назвать "заменой переменных"), но "интегрирование по частям" - это другое..

(19 Май '15 12:23) ЛисаА

@s1mka: то, что было сделано в начале, называется "разложение на простейшие дроби". Это часто применяемый приём. Судя по всему, он был уже к этому времени разобран, поэтому подробности приводить не стали. Чтобы было яснее, лучше всего прочитать материал по этой теме отдельно.

(19 Май '15 13:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,608
×1,540
×1,045

задан
19 Май '15 11:02

показан
241 раз

обновлен
19 Май '15 13:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru