Пусть $%G=(G, t; t^{-1}At=B, z)- HNN $% - расширение группы $%G$% с проходной буквой $%t$% и связными относительно изоморфизма $%z$% подгруппами $%A$% и $%B$%. Группа $%G$% не содержит нециклических свободных подгрупп тогда и только тогда, когда группа $%G$% не содержит нециклических свободных подгрупп и хотя бы одна из связных подгрупп совпадает с базовой группой $%G$%.

Я так понимаю по ссылке первая часть доказательства math.hashcode.ru/questions/57577/

задан 19 Май '15 19:44

изменен 20 Май '15 8:09

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Половина утверждения доказана по ссылке: если $%G\ne A$% и $%G\ne B$%, то HNN-расширение $%\bar G$% имеет свободную нециклическую подгруппу.

Докажем обратное утверждение. Пусть $%G=A$%. По условию, $%t^{-1}Gt\subseteq B\subseteq G$%, откуда $%G\subseteq tGt^{-1}\subseteq t^2Gt^{-2}\subseteq\cdots$%, то есть мы имеем дело с вложенной системой подгрупп. Положим $%N=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}t^nGt^{-n}$%. Проверим, что $%N$% является нормальной подгруппой в $%\bar G$%. То, что это подгруппа, очевидно, так как любая вложенная система подгрупп обладает этим свойством. Проверим, что она инварианта относительно сопряжений элементами $%t^{\pm1}$%, а также элементами $%g\in G$%. Этого достаточно, так как любой элемент HNN-расширения представляется в виде произведения элементов такого вида.

Ясно, что $%t(t^nGt^{-n})t^{-1}=t^{n+1}Gt^{-(n+1)}$%, а также $%t^{-1}(t^nGt^{-n})t=t^{n-1}Gt^{-(n-1)}$% при $%n\ge1$%. Случай $%n=0$% очевиден ввиду $%t^{-1}Gt\subseteq G$%. Далее, заметим, что $%Gt^n\subseteq t^nG$% при $%n\ge0$%. Поэтому для любого $%g\in G$% существует $%h\in G$% такой, что $%gt^n=t^nh$%. Поэтому $%g(t^nGt^{-n})g^{-1}\subseteq t^nhGh^{-1}t^{-n}=t^nGt^{-n}$%.

Итак, $%N$% нормальна в $%\bar G$%. Рассмотрим факторгруппу $%\bar G/N$%. Поскольку все элементы из $%G$% лежат в $%N$%, факторгруппа получается добавлением всех соотношений вида $%g=1$% к соотношениям, задающим HNN-расширение. Получается группа с одним образующим $%t$% без соотношений, то есть бесконечная циклическая группа. Тем самым, получается естественный гомоморфизм $%\varepsilon\colon\bar G\to\mathbb Z$% с ядром $%N$%.

Предположим, что $%\bar G$% содержит свободную группу $%K$% ранга $%> 1$%. Рассмотрим её пересечение с $%N$%. По теореме Нильсена - Шрайера, это свободная группа. Допустим, что она нециклическая. Тогда она содержит базис $%\{a,b\}$% свободной подгруппы ранга 2. Поскольку $%a,b\in N$%, а цепочка подгрупп у нас вложенная, оба элемента принадлежат некоторому члену $%t^nGt^{-n}$% этой цепочки, и эта подгруппа содержит свободную подгруппу ранга 2. Но она сопряжена $%G$%, и тогда получается, что $%G$% ей изоморфна, и тоже содержит свободную подгруппу ранга 2, что противоречит условию.

Осталось рассмотреть случай, когда пересечение $%K\cap N$% является циклической группой (возможно, единичной). Рассматривая ограничение гомоморфизма $%\varepsilon$% на $%K$%, мы получаем гомоморфизм с циклическим ядром $%K\cap N$%. По теореме о гомоморфизмах, $%K/K\cap N$% изоморфна подгруппе в $%\mathbb Z$%, то есть $%K$% является расширением циклической группы при помощи циклической. Тогда её коммутант абелев, то есть группа $%K$% удовлетворяет нетривиальному тождеству $%[[x_1,x_2],[x_3,x_4]]=1$%. Хорошо известно, что свободная нециклическая группа никакому нетривиальному тождеству удовлетворять не может, что завершает доказательство.

ссылка

отвечен 19 Май '15 21:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×576
×51

задан
19 Май '15 19:44

показан
345 раз

обновлен
20 Май '15 8:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru