Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {n^{\frac 13} \cdot \sin \frac n3}{n+1}$$

задан 19 Май '15 21:29

изменен 20 Май '15 8:22

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сходимость ряда следует из признака Дирихле. Суммы вида $%\sum\limits_{n=1}^N\sin(n/3)$% равномерно ограничены, а последовательность $%a_n=\frac{n^{1/3}}{n+1}$% монотонно стремится к нулю, начиная с некоторого члена (в данном случае, даже с первого).

Отсутствие абсолютной сходимости можно доказать так. Рассмотрим такие $%n$%, для которых $%|\sin(n/3)| < 1/10$%. Если задать соответствующую область на единичной окружности, то легко заметить, что при увеличении $%n$% на единицу, угол увеличивается на 1/3 радиан, и из этой области мы выходим. Отсюда следует, что среди двух соседних членов ряда, хотя бы один из них имеет модуль синуса, не меньший 1/10. Поэтому сумма ряда из модулей оказывается не меньше, чем $%\frac1{10}(a_2+a_4+\cdots+a_{2m}+\cdots)$%, а такой ряд расходится в силу интегрального признака, так как $%a_n\sim n^{-2/3}$% (можно также сравнить с гармоническим рядом).

Таким образом, ряд сходится условно.

ссылка

отвечен 19 Май '15 22:34

Спасибо огромное! Вы наверное профессором работаете. ))

(20 Май '15 0:34) Julia Ko

@Julia Ko: да, Вы угадали вообще-то! :)

(20 Май '15 0:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×589

задан
19 Май '15 21:29

показан
613 раз

обновлен
20 Май '15 0:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru