Помогите, пожалуйста , исследовать дифференцируемость в точке (0,0). $$U=(\sin(x)\cdot(1-\cos(xy))^{1/5}$$

задан 19 Май '15 21:32

изменен 20 Май '15 8:23

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

В степени 1/5

(19 Май '15 21:33) mango44_X5
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь условие не совсем корректно, поскольку в степень с дробным показателем нельзя возводить отрицательные числа, а здесь выражение может быть отрицательным. Поэтому я бы слегка изменил запись функции, полагая $%U(x,y)=\sqrt[5]{\sin x\,(1-\cos xy)}$%.

Предположим, что $%U$% дифференцируема в нуле. Тогда существуют числа $%A$%, $%B$% такие, что $%U(x,y)=Ax+By+o(r)$%, где $%r=\sqrt{x^2+y^2}\to0$%.

Ввиду того, что $%U(x,0)=U(0,y)=0$%, мы выводим отсюда, что $%A=B=0$%, так как $%x\ne o(r)$% и $%y\ne o(r)$%.

Ввиду того, что $%\sin t\sim t$% и $%1-\cos t=2\sin^2\frac{t}2\sim\frac12t^2$% при $%t\to0$%, мы получаем, что $%\sin x\,(1-\cos xy)\sim\frac12x^3y^2$%. Из условия $%U(x,y)=o(r)$% мы получаем, что $%U(x,y)^5=o(r^5)$%. Переходя к полярным координатам, то есть полагая $%x=r\cos\varphi$% и $%y=r\sin\varphi$%, мы видим, что $%U(x,y)^5\sim\frac12r^5\cos^3\varphi\sin^2\varphi$%, что приводит к противоречию, так как $%\cos^3\varphi\sin^2\varphi\ne o(1)$% при $%r\to0$%. Таким образом, функция в нуле не дифференцируема.

ссылка

отвечен 19 Май '15 21:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,554

задан
19 Май '15 21:32

показан
195 раз

обновлен
19 Май '15 21:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru