Решить в натуральных числах $$x^{(x+y)}=y^{(y-x)} $$

задан 20 Май '15 14:55

(1;1); (3;9)

(20 Май '15 16:27) Lyudmyla

$%(25;125); (3^{39};3^{42})$%...

(20 Май '15 16:35) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если $%x=y$%, то правая часть равна единице, откуда $%x=1$%, и получается одно тривиальное решение. При $%y=1$% получается то же самое. Пусть $%y > 1$%. Тогда $%y > x$% (дробное число не равно натуральному), и из основной теоремы арифметики следует, что $%y$% и $%x$% являются степенями одного и того же числа $%z$%, то есть можно положить $%x=z^m$%, $%y=z^n$%, где $%z > 1$% и $%n > m$%.

Представляя обе части уравнения в виде степеней $%z$% и приравнивая показатели, имеем $%m(z^n+z^m)=n(z^n-z^m)$%. Сокращая на $%z^m$% и полагая $%k=n-m$%, приходим к равенству $%\frac{z^k+1}{z^k-1}=\frac{n}m$%. Вычитание единицы из обеих частей даёт $%\frac2{z^k-1}=\frac{k}m$%, то есть $%2m=k(z^k-1)$%.

Теперь мы произвольным образом выбираем $%z > 1$% и $%k\ge1$%, чтобы в правой части равенства получилось чётное число (при нечётном $%z$% годится любое $%k$%, а при чётном $%z$% -- любое чётное $%k$%. Далее $%m=\frac{k(z^k-1)}2$%; $%n=m+k=\frac{k(z^k+1)}2$%, и $%x=z^m$%, $%y=z^n$%, что задаёт бесконечное параметрическое множество решений. Легко заметить, что проверка здесь не требуется: эти значения подходят по построению.

Простейшие примеры: $%x=3$%, $%y=9$%; $%x=8$%, $%y=32$%; $%x=25$%, $%y=125$%, и так далее.

ссылка

отвечен 20 Май '15 16:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×654

задан
20 Май '15 14:55

показан
225 раз

обновлен
20 Май '15 16:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru