Здравствуйте! В одной статье мне встретилась формула для неопределенности 1 в степени бесконечность:

$$\lim\limits_{x \to a} u(x)^{v(x)} = e^{\lim\limits_{x \to a}((u(x) - 1) \cdot v(x))}$$

Это, наверняка, очень просто, но где-то есть вывод этой формулы? Я что-то не могу найти. (

задан 20 Май '15 15:35

изменен 20 Май '15 20:04

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Эта формула в общем случае неверна. Возьмём, например, $%a=2$% и рассмотрим функцию $%x^x$%. Тогда в левой части получается $%2^2=4$%, а в правой $%e^{(2-1)\cdot2}=e^2$%.

Думаю, дело в следующем. Если $%u(x) > 0$%, то $%u(x)=e^{\ln u(x)}$%, то есть $%u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$%. Ввиду того, что экспонента -- непрерывная функция, её предел будет равен $%e$% в степени предела выражения $%v(x)\ln u(x)$%. Если предел $%u(x)$% тоже больше нуля, как и сама функция, то всё просто. Скажем, если обе функции непрерывны, то пределы равны значениям функции, и получится число $%v(a)\ln u(a)$% в показателе экспоненты. Сам предел функции $%u(x)^{v(x)}$% в этом простом случае будет равен $%u(a)^{v(a)}$%, как и в рассмотренном только что примере.

Теперь рассмотрим особые случаи. Один из них заключается в том, когда $%u(x)\to0$% при $%x\to a$%. Если $%v(x)$% имеет конечный предел, отличный от нуля (для простоты, пусть он равен $%v(a)$%), то в показателе степени получится $%v(a)\cdot(-\infty)$%. В зависимости от знака $%v(a)$%, это будет $%-\infty$% или $%+\infty$%, и тогда итоговое значение предела равно либо $%e^{-\infty}=0$%, либо $%e^{+\infty}=+\infty$%.

Наконец, рассмотрим ситуацию, когда $%v(x)$% имеет бесконечный предел. Здесь заслуживает внимания лишь случай, когда $%\ln u(x)$% стремится к нулю: в показателе степени возникает неопределённость типа $%\infty\cdot0$%. В остальных случаях всё понятно. Таким образом, $%u(x)\to1$%, поскольку логарифм стремится к нулю, и тогда можно записать $%u(x)=1+(u(x)-1)$%, где $%u(x)-1\to0$% -- бесконечно малая величина.

Известно, что $%\ln(1+t)\sim t$% при $%t\to0$%. Значит, $%\ln u(x)\sim u(x)-1$% при этих условиях. Замена множителя на эквивалентный ему не меняет значения предела функции, если он существует. Поэтому мы можем сказать, что если существует предел $%\lim\limits_{x\to a}(u(x)-1)v(x)=b$%, то для исходного предела получается значение $%e^b$%.

Таким образом, формула применима при естественных ограничениях. Если они не выполнены, то сама формула не нужна. Простейший пример, когда формула применима: $%(1+\frac1x)^{x+1}$% при $%x\to+\infty$% (значение $%a$% может быть любым -- в том числе бесконечным). Здесь $%u(x)\to1$%, $%v(x)\to+\infty$%, то есть это неопределённость типа $%1^{\infty}$%. Здесь $%(u(x)-1)v(x)=\frac{x+1}x\to1$%, поэтому предел равен $%e$%.

ссылка

отвечен 20 Май '15 16:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×816
×710
×73

задан
20 Май '15 15:35

показан
1525 раз

обновлен
20 Май '15 16:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru