Для положительных действительных чисел $%a,b,c$% доказать неравенство: $$\frac{a^3}{4a+b+c}+\frac{b^3}{4b+c+a}+\frac{c^3}{4c+a+b} \ge \frac 16 (a^2+b^2+c^2)$$

задан 20 Май '15 15:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

Известно следующее неравенство, верное для всех положительных чисел: $$\frac{x_1^2}{y_1}+\cdots+\frac{x_n^2}{y_n}\ge\frac{(x_1+\cdots+x_n)^2}{y_1+\cdots+y_n},$$ что является следствием неравенства Коши - Буняковского. Достаточно для этого рассмотреть $%n$%-мерные векторы $%(\sqrt{y_1},\ldots,\sqrt{y_n})$% и $%(x_1/\sqrt{y_1},\ldots,x_n/\sqrt{y_n})$%.

Домножим числители и знаменатели в левой части неравенства из условия так, чтобы в числителях получились четвёртые степени. Тогда получится $$\frac{(a^2)^2}{4a^2+ab+ac}+\frac{(b^2)^2}{4b^2+bc+ba}+\frac{(c^2)^2}{4c^2+ca+cb}\ge\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4a^2+4b^2+4c^2+2ab+2bc+2ca}.$$

Воспользуемся неравенством вида $%2xy\le x^2+y^2$% для каждого из удвоенных произведений, откуда будет следовать, что знаменатель не больше $%4(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)=6(a^2+b^2+c^2)$%. Тем самым, дробь оказывается не меньше $%\frac16(a^2+b^2+c^2)$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 20 Май '15 16:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
20 Май '15 15:55

показан
277 раз

обновлен
20 Май '15 16:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru