В $%n$%-мерном пространстве с точки выходит $%n+1$% луч. Эти лучи попарно образуют угол $%\varphi$%. Найдите этот угол.

задан 20 Май '15 16:13

"попарно" значит любой с любым?

(20 Май '15 16:47) Isaev

Я думаю, что да: любой с любым!

(20 Май '15 16:55) Роман83

@Isaev: да, именно это.

(20 Май '15 16:55) falcao

А как это возможно? Допустим 3-мерное пространство возьмём, значит 4 луча выходят из 1 точки пучком. т.е. если между (1 и 2), (2 и 3), (3 и 4) и (1 и 4) будут одинаковые углы и даже если (1 и 3) будет такой же, то между (2 и 4) он в любом случае будет больше.

(20 Май '15 17:03) Isaev
2

@Isaev: представьте себе правильный тетраэдр и из его центра через вершины проведите лучи

(20 Май '15 17:11) Роман83

$$\cos\phi=-\frac1n.$$

(20 Май '15 20:07) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: не могли бы вы написать решение?

(20 Май '15 20:59) Роман83
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим единичные векторы $%e_i$% ($%1\le i\le n+1$%), соответствующие лучам. Их концы являются вершинами правильного $%n$%-мерного симплекса: попарные расстояния между точками равны ввиду теоремы косинусов. Можно показать, что такой симплекс нельзя расположить в пространстве размерности меньше $%n$%, то есть правильный треугольник невозможен на прямой, правильный тетраэдр невозможен на плоскости, и так далее. Это доказывается по индукции; я буду считать данный факт известным.

Докажем, что сумма всех векторов $%v=e_1+\cdots+e_{n+1}$% нулевая. Действительно, $%(v,e_i)=1+n\cos\varphi$% для всех $%i$%, откуда следует, что $%v$% ортогонален каждому из векторов вида $%e_i-e_{n+1}$% при $%1\le i\le n$%. Из сказанного выше следует, что линейная оболочка таких векторов совпадает со всем $%n$%-мерным пространством. Поэтому $%v$% через них линейно выражается, то есть он ортогонален себе, и потому является нулевым. Тогда $%0=(v,e_i)=1+n\cos\varphi$%, и $%\cos\varphi=-\frac1n$%.

ссылка

отвечен 20 Май '15 23:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,168

задан
20 Май '15 16:13

показан
557 раз

обновлен
20 Май '15 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru